无穷集合问题

rayfekeeper · 发表于 2009-12-2 22:19:28

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是否存在一个无穷正整数集合A,使得对于任意A中元素a，b都有a+b不属于A。这样的集合的基数会是多少？

geslon · 发表于 2009-12-3 00:09:16

？？
1，2，4，8，16，32，....

这个可以吗？

这样的集合有无穷多个呀？

KeyTo9_Fans · 发表于 2009-12-3 10:44:59

楼上的结论是对的，但“无穷多个”不够具体。

{3±1,9±1,27±1,81±1,...,3^k±1}是一组符合要求的集合。

其中，每个元素均有2种选择，对应0到1之间的实数全体的二进制表示。

所以这样的集合的基数不低于阿列夫1。

由于所有整数集的基数不可能高于阿列夫1，所以符合要求的集合的基数为阿列夫1。

rayfekeeper · 发表于 2009-12-3 11:55:38

楼上的高手记错了吧，应该是阿列夫0吧。

rayfekeeper · 发表于 2009-12-3 11:58:16

我认为随便取两个数就可以生成一个集合A,这样的集合个数应该和自然数的个数相当。

shshsh_0510 · 发表于 2009-12-3 12:11:58

4# rayfekeeper
没错吧，KeyTo9_Fans说的是A的集合的基数

A的是阿列夫0

天下无苕 · 发表于 2009-12-3 12:51:15

所有的奇数的集合好像可以吧
基数为阿列夫0.

rayfekeeper · 发表于 2009-12-3 12:59:57

其实这题问的是集合构成的集合的基数，不然早就告诉是可数无穷了。

天下无苕 · 发表于 2009-12-3 21:04:54

呵呵，看错了

天下无苕 · 发表于 2009-12-3 21:21:16

我觉得这样的A的基数应该不止阿列夫0个，因为对于每一个A，去掉A中有限个元素后的集合也满足条件，也就是说只要知道一个集合那么它的所有无限子集也是满足条件的集合，而这些子集的个数至少都有阿列夫0个（因为A中元素的基数为阿列夫0），这样一来这样的集合应该至少有阿列夫（实数集R的基数）个。

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