求满足要求的a，b，c

yigo

复数域内，已知\(x_1,x_2,x_3\)是一元三次方程\(x^3+ax^2+bx+c=0\)的3个根，

若\(x_1^3,x_2^3,x_3^3\)也是上述方程的根，求所有满足要求的\((a,b,c)\)。

补充内容 (2025-1-20 11:04):
确实题目没表达清楚，题目的本意是允许有重根的，改一下：\(x_i\)是方程的任意一个根，且\(x_i^3\)也是该方程的根，求满足要求的\((a,b,c)\)。

northwolves

韦达定理
$r+s+t = -a$
$rs + rt + st = b$
$rst = -c$

$r^3+s^3+t ^3= -a$
$r^3s^3 + r^3t^3 + s^3t^3 = b$
$r^3s^3t^3 = -c$

解得  
$a^3-3 a b-3 c=a$
$b^3+3 b c=b$
$-c=(-c)^3$

1. Values@Solve[{a^3 - 3 a b - 3 c == a, b^3 + 3 b c == b, (-c) == (-c)^3}, {a, b, c}] // ToRadicals

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解得有27个解

\begin{array}{ccc}
-2 & 1 & 0 \\
-1 & 0 & 0 \\
0 & -1 & 0 \\
0 & 0 & 0 \\
0 & 1 & 0 \\
1 & 0 & 0 \\
2 & 1 & 0 \\
-i \sqrt{2} & -1 & 0 \\
i \sqrt{2} & -1 & 0 \\
\frac{i \left(3 \sqrt{2}+i\right) \left(1+i \sqrt{3}\right)}{2^{2/3} \sqrt[3]{3 \left(27+\sqrt{3 \left(455-180 i \sqrt{2}\right)}\right)}}-\frac{\left(1-i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{\frac{1}{2} \left(27+\sqrt{3 \left(455-180 i \sqrt{2}\right)}\right)}}{2\ 3^{2/3}} & -i \sqrt{2} & 1 \\
\frac{i \left(3 \sqrt{2}+i\right) \left(1-i \sqrt{3}\right)}{2^{2/3} \sqrt[3]{3 \left(27+\sqrt{3 \left(455-180 i \sqrt{2}\right)}\right)}}-\frac{\left(1+i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{\frac{1}{2} \left(27+\sqrt{3 \left(455-180 i \sqrt{2}\right)}\right)}}{2\ 3^{2/3}} & -i \sqrt{2} & 1 \\
\frac{\sqrt[3]{\frac{1}{2} \left(27+\sqrt{3 \left(455-180 i \sqrt{2}\right)}\right)}}{3^{2/3}}-\frac{i \left(3 \sqrt{2}+i\right)}{\sqrt[3]{\frac{3}{2} \left(27+\sqrt{3 \left(455-180 i \sqrt{2}\right)}\right)}} & -i \sqrt{2} & 1 \\
-\frac{\left(1+i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{\frac{1}{2} \left(27+\sqrt{3 \left(455+180 i \sqrt{2}\right)}\right)}}{2\ 3^{2/3}}-\frac{i \left(3 \sqrt{2}-i\right) \left(1-i \sqrt{3}\right)}{2^{2/3} \sqrt[3]{3 \left(27+\sqrt{3 \left(455+180 i \sqrt{2}\right)}\right)}} & i \sqrt{2} & 1 \\
-\frac{\left(1-i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{\frac{1}{2} \left(27+\sqrt{3 \left(455+180 i \sqrt{2}\right)}\right)}}{2\ 3^{2/3}}-\frac{i \left(3 \sqrt{2}-i\right) \left(1+i \sqrt{3}\right)}{2^{2/3} \sqrt[3]{3 \left(27+\sqrt{3 \left(455+180 i \sqrt{2}\right)}\right)}} & i \sqrt{2} & 1 \\
\frac{\sqrt[3]{\frac{1}{2} \left(27+\sqrt{3 \left(455+180 i \sqrt{2}\right)}\right)}}{3^{2/3}}+\frac{i \left(3 \sqrt{2}-i\right)}{\sqrt[3]{\frac{3}{2} \left(27+\sqrt{3 \left(455+180 i \sqrt{2}\right)}\right)}} & i \sqrt{2} & 1 \\
-\frac{\left(1-i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{\frac{1}{2} \left(-27+i \sqrt{3387}\right)}}{2\ 3^{2/3}}-\frac{7 \left(1+i \sqrt{3}\right)}{2^{2/3} \sqrt[3]{3 \left(-27+i \sqrt{3387}\right)}} & 2 & -1 \\
-\frac{\left(1+i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{\frac{1}{2} \left(-27+i \sqrt{3387}\right)}}{2\ 3^{2/3}}-\frac{7 \left(1-i \sqrt{3}\right)}{2^{2/3} \sqrt[3]{3 \left(-27+i \sqrt{3387}\right)}} & 2 & -1 \\
\frac{\sqrt[3]{\frac{1}{2} \left(-27+i \sqrt{3387}\right)}}{3^{2/3}}+\frac{7}{\sqrt[3]{\frac{3}{2} \left(-27+i \sqrt{3387}\right)}} & 2 & -1 \\
\frac{1}{3} \sqrt[3]{\frac{81}{2}-\frac{3 \sqrt{717}}{2}}+\frac{\sqrt[3]{\frac{1}{2} \left(\sqrt{717}+27\right)}}{3^{2/3}} & 0 & 1 \\
-\frac{1}{6} \left(1-i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{\frac{81}{2}-\frac{3 \sqrt{717}}{2}}-\frac{\left(1+i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{\frac{1}{2} \left(\sqrt{717}+27\right)}}{2\ 3^{2/3}} & 0 & 1 \\
-\frac{1}{6} \left(1+i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{\frac{81}{2}-\frac{3 \sqrt{717}}{2}}-\frac{\left(1-i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{\frac{1}{2} \left(\sqrt{717}+27\right)}}{2\ 3^{2/3}} & 0 & 1 \\
-\frac{\sqrt[3]{\frac{1}{2} \left(27-\sqrt{717}\right)}}{3^{2/3}}-\sqrt[3]{\frac{2}{3 \left(27-\sqrt{717}\right)}} & 0 & -1 \\
\frac{\left(1+i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{\frac{1}{2} \left(27-\sqrt{717}\right)}}{2\ 3^{2/3}}+\frac{1-i \sqrt{3}}{2^{2/3} \sqrt[3]{3 \left(27-\sqrt{717}\right)}} & 0 & -1 \\
\frac{\left(1-i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{\frac{1}{2} \left(27-\sqrt{717}\right)}}{2\ 3^{2/3}}+\frac{1+i \sqrt{3}}{2^{2/3} \sqrt[3]{3 \left(27-\sqrt{717}\right)}} & 0 & -1 \\
\frac{\sqrt[3]{\frac{1}{2} \left(\sqrt{2229}-27\right)}}{3^{2/3}}-5 \sqrt[3]{\frac{2}{3 \left(\sqrt{2229}-27\right)}} & -2 & -1 \\
\frac{5 \left(1-i \sqrt{3}\right)}{2^{2/3} \sqrt[3]{3 \left(\sqrt{2229}-27\right)}}-\frac{\left(1+i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{\frac{1}{2} \left(\sqrt{2229}-27\right)}}{2\ 3^{2/3}} & -2 & -1 \\
\frac{5 \left(1+i \sqrt{3}\right)}{2^{2/3} \sqrt[3]{3 \left(\sqrt{2229}-27\right)}}-\frac{\left(1-i \sqrt{3}\right) \sqrt[3]{\frac{1}{2} \left(\sqrt{2229}-27\right)}}{2\ 3^{2/3}} & -2 & -1 \\
\end{array}

wayne

展开$\frac{x^9+a x^6+b x^3+c}{x^3+a x^2+b x+c}$应该为多项式.也就是下面的是恒等于0.
$-c \left(a^6-5 a^4 b-a^4+4 a^3 c+6 a^2 b^2+2 a^2 b-6 a b c-a c-b^3+b+c^2-1\right)+x^2 \left(-a^7+6 a^5 b+a^5-5 a^4 c-10 a^3 b^2-3 a^3 b+12 a^2 b c+2 a^2 c+4 a b^3+a b^2-a b-3 a c^2-3 b^2 c\right)+x \left(a^6 (-b)+a^5 c+5 a^4 b^2+a^4 b-8 a^3 b c-a^3 c-6 a^2 b^3-2 a^2 b^2+3 a^2 c^2+9 a b^2 c+2 a b c+b^4-b^2-3 b c^2\right) \equiv 0$

1. Solve[{-c (-1 - a^4 + a^6 + b + 2 a^2 b - 5 a^4 b + 6 a^2 b^2 - b^3 -  a c + 4 a^3 c - 6 a b c + c^2) == 0,  
   
2. a^4 b - a^6 b - b^2 - 2 a^2 b^2 + 5 a^4 b^2 - 6 a^2 b^3 + b^4 -  a^3 c + a^5 c + 2 a b c - 8 a^3 b c + 9 a b^2 c + 3 a^2 c^2 - 3 b c^2 == 0,
   
3. a^5 - a^7 - a b - 3 a^3 b + 6 a^5 b + a b^2 - 10 a^3 b^2 +  4 a b^3 + 2 a^2 c - 5 a^4 c + 12 a^2 b c - 3 b^2 c - 3 a c^2 == 0}, {a, b, c}, Reals] // RootReduce

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有65个复数解.其中有15个实数解.

1. {a->-3,b->3,c->-1}
   
2. {a->-2,b->1,c->0}
   
3. {a->-1,b->-1,c->1}
   
4. {a->-1,b->0,c->0}
   
5. {a->-1,b->1,c->-1}
   
6. {a->0,b->-1,c->0}
   
7. {a->0,b->0,c->-1}
   
8. {a->0,b->0,c->0}
   
9. {a->0,b->0,c->1}
   
10. {a->0,b->1,c->0}
    
11. {a->1,b->-1,c->-1}
    
12. {a->1,b->0,c->0}
    
13. {a->1,b->1,c->1}
    
14. {a->2,b->1,c->0}
    
15. {a->3,b->3,c->1}

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mathe

可以重复情况不难，就是有点复杂。
i) 3个都是0，肯定可以
ii)2个0，余下一个3次方是自己，只能1或-1；这里共两种
iii)1一个0，
   iii.1) 余下两个可以都是1或-1，这里共3种
   iii.2) 余下一个1或-1，另外一个3次方为1或-1 （但是不等于1或-1），这里共4种。
   iii.3) x1^3=x2,x2^3=x1, 得出x1^8=1, 排除x1是1或-1情况，给定x1唯一确定x2，所以有6种。
iv)没有0，但是三个数的3次方都是自己，所以它们都是1或-1,共4种
v)没有0, 两个数的三次方都是自己，余下一个数三次方是1或-1（但是不等于1或-1），这个种类数目稍微有点多，应该8种
vi)没有0，一个数的三次方自己，比如x1^3=x1, x1=1或-1
   vi.1) x2^3=x1, x3^3=x1, （但是它们都不是1或-1）共6种
   vi.2) x2^3=x1, x3^3=x2, (它们都不是1或-1）共12种
   vi.3) x2^3=x3,x3^3=x2, x2^8=1, 共6种
vii)没有0，每个数的三次方都不是自己
   vii.1) x1^3=x2,x2^3=x1, x3^3=x1 (x1^8=1), 应该 6*3=18种
   vii.2) x1^3=x2,x2^3=x3,x3^3=x1 (x1^26=1), 应该24种

wayne

mathe 发表于 2025-1-18 09:10
可以重复情况不难，就是有点复杂。
i) 3个都是0，肯定可以
ii)2个0，余下一个3次方是自己，只能1或-1；这里 ...

好像咱们的统计个数不一致 . 我统计了一下三根都不为0的情况是52个,有一个为0的情况是10个,有两个为0的是2个,都为0的是1个. 以下是1个根为0的10种情况:
\[\left(
\begin{array}{c}
\{\{a\to -2,b\to 1,c\to 0\},\{0,1,1\},1\} \\
\{\{a\to 0,b\to -1,c\to 0\},\{-1,0,1\},1\} \\
\{\{a\to 0,b\to 1,c\to 0\},\{0,-i,i\},1\} \\
\{\{a\to 2,b\to 1,c\to 0\},\{-1,-1,0\},1\} \\
\left\{\left\{a\to -i \sqrt{2},b\to -1,c\to 0\right\},\left\{0,\text{Root}\left[\text{$\#$1}^4+1\&,2,0\right],\text{Root}\left[\text{$\#$1}^4+1\&,4,0\right]\right\},1\right\} \\
\left\{\left\{a\to i \sqrt{2},b\to -1,c\to 0\right\},\left\{0,\text{Root}\left[\text{$\#$1}^4+1\&,1,0\right],\text{Root}\left[\text{$\#$1}^4+1\&,3,0\right]\right\},1\right\} \\
\left\{\left\{a\to \frac{1}{2} \left(-1-i \sqrt{3}\right),b\to \frac{1}{2} \left(-1+i \sqrt{3}\right),c\to 0\right\},\left\{0,1,\frac{1}{2} \left(-1+i \sqrt{3}\right)\right\},1\right\} \\
\left\{\left\{a\to \frac{1}{2} \left(1-i \sqrt{3}\right),b\to \frac{1}{2} \left(-1-i \sqrt{3}\right),c\to 0\right\},\left\{-1,0,\frac{1}{2} \left(1+i \sqrt{3}\right)\right\},1\right\} \\
\left\{\left\{a\to \frac{1}{2} \left(-1+i \sqrt{3}\right),b\to \frac{1}{2} \left(-1-i \sqrt{3}\right),c\to 0\right\},\left\{0,1,\frac{1}{2} \left(-1-i \sqrt{3}\right)\right\},1\right\} \\
\left\{\left\{a\to \frac{1}{2} \left(1+i \sqrt{3}\right),b\to \frac{1}{2} \left(-1+i \sqrt{3}\right),c\to 0\right\},\left\{-1,0,\frac{1}{2} \left(1-i \sqrt{3}\right)\right\},1\right\} \\
\end{array}
\right)\]

hujunhua

记`I=\{0,1,-1\},J=\{x|x^8=1∧x≠±1\},K=\{x|x^{26}=1∧x≠±1\}`.
1、`x_{1,2,3}∈I`, 有序解共27种，无序解10种，不妨按无序解逐个计算`a,b,c`
2、`x_1∈I,x_{2,3}∉I,x_2=x_3^3,x_3=x_2^3→x_{2,3}∈J`, 可分9种情况计算。
        注：`x_{2,3}∈J`, `|J|=6`,分成3对。
3、`x_{1,2,3}∉I,x_1=x_2^3,x_2=x_3^3,x_3=x_1^3→x_{1,2,3}∈K`，可分8种情况计算。
        注：`x_{1,2,3}∈K`,`|K|=24`,3个1组分为8组。

合计27种情况，最多27解。咋感觉这27解会与2#的不同？比较2#与3#的结果，应该是2#的一些复数解还能化简。

wayne

题目说的 $x_1^3,x_2^3,x_3^3$也是上述方程的根,是指同时吗, 如果是同时,那就是 $(x-x_1^3)(x-x_2^3)(x-x_3^3) = (x-x_1)(x-x_2)(x-x_3) =x^3 + a x^2 + b x + c $ ,那就是#2的答案,27组复数解,13组实数解.
我是看到楼主在#2的评论,第一时间的理解是这样的:
若$x^3 + a x^2 + b x + c=0$的一个根是$x_1, x_1^3$也是方程$x^3 + a x^2 + b x + c$的根,那么就是#3的65组复数解,15组实数解.
也就是,设$f(x)= x^3 + a x^2 + b x + c$,计算$\frac{f(x^3)}{f(x)}$的余子式,要恒为0

1. f[x_] := x^3 + a x^2 + b x + c;
   
2. RootReduce[Solve[Thread[CoefficientList[Last[PolynomialReduce[f[x^3], f[x], x]], x] == 0], {a, b, c}]]

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