还会有第 7 对解吗？

王守恩

只有 6 对解？ 还会有第 7 对解吗？？  为什么？？？

Solve[{DivisorSigma[1, a] - a - 1 == b, DivisorSigma[1, b] - b - 1 == a, 1 < a < b < 10000}, {a, b}, Integers]

或: Solve[{DivisorSigma[1, a] == a + b + 1 == DivisorSigma[1, b], 1 < a < b < 10000}, {a, b}, Integers]

{{a -> 48, b -> 75}, {a -> 140, b -> 195}, {a -> 1050, b -> 1925}, {a -> 1575, b -> 1648}, {a -> 2024, b -> 2295}, {a -> 5775, b -> 6128}}

mathe

https://oeis.org/A005276

王守恩

A005276——已订婚（或准友好）数字。

48, 75, 140, 195, 1050, 1575, 1648, 1925, 2024, 2295, 5775, 6128, 8892, 9504, 16587, 20735, 62744, 75495, 186615, 196664, 199760, 206504, 219975, 266000, 309135, 312620, 507759,

第一对 （48， 75） 由 Nasir （1946） 发现。Lehmer （1948） 在对 Nasir 论文的评论中指出，“这对 （48， 75） 表现得像友好的数字”。

Makowski （1960） 找到了接下来的 2 对，并称它们为“几乎友好的数字对”。

接下来的 6 对是由 Garcia （1968） 独立发现的，他将它们命名为 “números casi amigos”，Lal 和 Forbes （1971） 将它们命名为 “reduced amicable pairs”。

Beck 和 Wajar （1971） 又找到了 6 对，但错过了第 15 对和第 16 对 （526575， 544784） 和 （573560， 817479）。

Hagis 和 Lord （1977） 发现了前 46 对。他们称它们为“准友好数字”，以 Garcia （1968） 的名字命名。

Beck 和 Wajar （1993） 找到了接下来的 33 对。

王守恩

有很多对解！！！！！
{48, 75, 140, 195, 1050, 1575, 1648, 1925, 2024, 2295, 5775, 6128, 8892, 9504, 16587, 20735, 62744, 75495, 186615, 196664, 199760, 206504, 219975, 266000, 309135, 312620, 507759, 526575, 544784, \
549219, 573560, 587460, 817479, 1000824, 1057595, 1081184, 1139144, 1140020, 1159095, 1173704, 1208504, 1233056, 1236536, 1279950, 1331967, 1341495, 1348935, 1459143, 1524831, 1763019, 1902215, \
1921185, 2036420, 2102750, 2140215, 2142945, 2171240, 2198504, 2226014, 2312024, 2421704, 2576945, 2580864, 2681019, 2958500, 3010215, 3123735, 3220119, 3676491, 4012184, 4282215, 4311024, \
5088650, 5416280, 5644415, 6081680, 6446325, 6618080, 7460004, 7509159, 7875450, 7890575, 8713880, 8829792, 9247095, 9345903, 10106504, 10925915, 12146750, 12251679, 12500865, 12900734, 13693959, \
13922100, 14371104, 16247745, 16381925, 18845855, 22013334, 22559060, 23379224, 23939685, 26409320, 26502315, 26525415, 27735704, 27862695, 28206815, 28219664}

1. Select[Range[2, 3*10^7], DivisorSigma[1, #] == DivisorSigma[1, DivisorSigma[1, #] - # - 1] &]

复制代码

1. bnoQ[n_] := Module[{dsn = DivisorSigma[1, n], m, dsm}, m = dsn - n - 1; dsm = DivisorSigma[1, m]; dsm == dsn == n + m + 1]; Select[Range[2, 3*10^7], bnoQ]

复制代码

王守恩

不讲武德。来个刁钻一点的。解是有限的？

一个数的约数和 = 这个约数和 - 2025的约数和。

Solve[{DivisorSigma[1, a] == DivisorSigma[1, DivisorSigma[1, a] - 2025], 1 < a < 10^4}, {a}, Integers]

王守恩

一个数的约数和 = 这个约数和 - 2025的约数和。这样的数有156个。

1320, 1656, 1704, 1710, 1770, 1880, 1914, 1938, 1980, 2016, 2024, 2030, 2090, 2154, 2295, 2334, 2390, 2430, 2488, 2506, 2556, 2574, 2655, 2685, 2686, 2698, ...

更:  一个数的约数和 = 这个约数和 - 52的约数和。这样的数有 0 个？

王守恩

一个正整数的约数和 = 这个约数和 - 52的约数和。求证：不存在这样的正整数。

52这样的数可以有很多个。52, 96, 120, 124, 146, 206, 248, 262, 276, 288, 290, 292, 304, 306,...

类似于这道题：

将一个正整数分解为 5 个因子之积, 恰好有 6 组分解方式，求证：不存在这样的正整数。

将一个正整数分解为 4 个因子之积, 恰好有 8 组分解方式，求证：不存在这样的正整数。

将一个正整数分解为 4 个因子之积, 恰好有 10 组分解方式，求证：不存在这样的正整数。