初等競賽幾何題

ejsoon

ejsoon

來自https://blog.csdn.net/stereohomology/article/details/77159784

王守恩

利用《角格点问题》可以这样解。∠BAD=a,  ∠ACE=∠CBE=b,  ∠DAE=c。(1)化简=(2),  (2)化简=(3)。(3)还是可以化简的,  可惜我的功底不够了。

1. Solve[{Tan[a] == 3/4, Sin[b]Sin[b]Sin[a+c]/(Sin[Pi/2-a-b]Sin[Pi/2-a-b]Sin[a-c]) == 1, Sin[b]Sin[Pi/6+c]Sin[c]/(Sin[Pi/2-a-b]Sin[Pi/3-c]Sin[a-c]) == 1, (49/3)/Sin[Pi/3] == DE/Sin[c]
   
2. Solve[{Tan[a] == 3/4, Sin[a + c] Sin[Pi/3 - c]^2 Sin[a - c]^2/(Sin[a - c] Sin[Pi/6 + c]^2 Sin[c]^2) == 1, (49/3)/Sin[Pi/3] == DE/Sin[c], 1 > a > 0, 1 > c > 0}, {a, c, DE}]
   
3. Solve[{Tan[a] == 3/4, Sin[a + c] Sin[a - c]/(Tan[Pi/6 + c]^2 Sin[c]^2) == 1, (49/3)/Sin[Pi/3] == DE/Sin[c], 1 > a > 0, 1 > c > 0}, {a, c, DE}] // FullSimplify

复制代码

{{a -> ArcTan[3/4], c -> 2 ArcCot[3 Sqrt[3]], DE -> 7}}

Jack315

【圆参数计算】

\(O\) 为圆心，\(CE\) 为直径，\(AB\) 为圆上的弦，且 \(AB\) 与 \(CE\) 垂直相交于 \(D\) 点。
已知 \(AB=a\)，\(\angle ACB=\alpha\)，则可求得：\(r=\frac{a}{2}\csc{\alpha}\) 和 \(d=-\frac{a}{2}\cot{\alpha}\) 。
据此可计算出与线段 \(AD\) 和线段 \(BC\) 相对应圆的参数：
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}
\hline
\textbf{圆} & \textbf{线段}(a) & \textbf{角度}(\alpha) & \textbf{圆心}(x) & \textbf{圆心}(y) & \textbf{半径}(r)\\
\hline
1&AD=\frac{49}{3}&\frac{2}{3}\pi&-\frac{49}{6\sqrt{3}}&\frac{49}{6}&\frac{49}{3\sqrt{3}}\\
\hdashline
2&BC=\frac{49}{2}&\pi-\tan^{-1}(\frac{4}{3})&0&-\frac{147}{16}&\frac{245}{6}\\
\hline
\end{array}\)

【解方程】

为方便求出两个圆交点 \(E\) 的坐标，作坐标系的平移和旋转。
由两圆心坐标可求出平移向量为 \(vec=(\frac{49}{12\sqrt{3}},\frac{49}{96})\)，旋转角度为 \(\theta=\sin^{-1}(\frac{8}{7\sqrt{19}})\) 。
将两个圆心坐标加上平移向量 \(vec\)，再顺时针旋转角度 \(\theta\)，两个圆心的坐标成为 \((0,\pm\frac{343}{96}\sqrt{\frac{19}{3}})\) 。
解两个圆的方程得到与 \(E\) 点对应的坐标为 \((\frac{35}{\sqrt{19}},\frac{2933}{96\sqrt{57}})\) 。
将此坐标逆时针旋转角度 \(\theta\) 再减去平移向量得到 \(E\) 点坐标为 \((\frac{5\sqrt{3}}{2},\frac{11}{2})\) 。从而求得 \(DE=7\) 。

如果不借助工具，这个方法的计算还是比较繁琐的，不知道有没有更优雅的解法？

补充内容 (2025-2-11 23:04):
两个圆的另一个交点为 \((-\frac{35}{\sqrt{19}},\frac{2933}{96\sqrt{57}})\rightarrow(-\frac{245\sqrt{3}}{38},\frac{49}{38})\) 。