鲁班圆是否处处光滑

wayne

在一张纸平面上 钉三个钉子,不共线,然后用一根 稍微长的绳圈 套在这三个钉子上, 另外再套上笔,笔在纸上走一圈, 画出来的封闭曲线很像一个圆, 我们就叫做 鲁班圆.
问题来了:
1) 鲁班圆 是否处处光滑,请证明.
2) 给定三角形的三边$(a,b,c)$,和绳长$L$, 求鲁班圆的数字特征, 比如周长, 面积
3) 如果是n个钉子构成的凸多边形呢,上面的结论又如何.

画图: https://www.geogebra.org/classic/adkfjzx6

lsr314

三段椭圆的链接，交界处一般来说是不光滑的

wayne

是六段椭圆弧.而且是光滑的,但是二阶应该不可导.

nyy

wayne 发表于 2025-2-11 11:15
是六段椭圆弧.而且是光滑的,但是二阶不连续.

先画一个图，我都不知道什么样子

Jack315

鲁班圆：

六个弧段的构成（作图过程）见下表：
\(\begin{array}{|c|c|c|c|c|c|}\hline  
\textbf{弧段} & \textbf{起点} & \textbf{终点} & \textbf{椭圆焦点} & \textbf{标注} & \textbf{颜色}\\
\hline 1&D&E&(A,B)&弧段 D&绿\\  
\hdashline 2&E&F&(A,C)&弧段 E&红\\  
\hdashline 3&F&G&(B,C)&弧段 F&蓝\\  
\hdashline 4&G&H&(A,B)&弧段 G&绿\\  
\hdashline 5&H&I&(A,C)&弧段 H&红\\  
\hdashline 6&I&D&(B,C)&弧段 I&蓝\\  
\hline \end{array}\)
每对焦点有大小两个椭圆。大椭圆弧段的标注在椭圆外；小椭圆弧段的标注在椭圆内。

Jack315

再上个图：

nyy

Jack315 发表于 2025-2-11 19:27
再上个图：

属于图像的部分用实线，
不属于图像的椭圆部分用虚线，
这样表达会不会好一些？