新定义的T运算

霜晨

对于数列A：\(a_{1} ，a_{2} ，a_{3}， ……，a_{n} （n∈N^{*} ）\)，取1≤p＜q≤n\((p，q∈N^{*} )\)，记\(a_{p} +a_{q}\)所有不同结果的个数记为T(A).
要求：不使用计算机，不使用穷举法的前提下解决如下问题：
（1）若数列A：0,1,2,3,4.求T(A).
（2）记f(x)=[x[x]]([x]是向下取整函数，且x≥3）.
（i）在x∈[n,n+1)（n∈N^{*} ）时，令f(x)的值域由小到大组成数列A，若T(A)=1967,求n的值.
（ii）在x∈[3,n+1)（n∈N^{*} ）时，令f(x)的值域由小到大组成数列A，求T(A)的通项公式.

前两问都好解决，主要是想看看第三问大家有什么思路。

mathe

第二问都解决了，第三问不就很简单了吗？

霜晨

mathe 发表于 2025-2-13 09:16
第二问都解决了，第三问不就很简单了吗？

做这道题最开始觉得很简单，不过到了第三问，我就觉得被裹挟进入了数阵的汪洋大海之中难以自拔。还请您指教！

霜晨

mathe 发表于 2025-2-13 09:16
第二问都解决了，第三问不就很简单了吗？

我发现，如果介入了不同行，从3到n，那么在跨列之间也会出现重合情况，想要算出总情况减去重合情况就会颇为复杂，于是我考虑正向解决这道题，下面是我的解题思路，但不是很清晰。

霜晨

第三问我的思路：
由于数列A为9,10,11,16,17,18,19,25,26,27,28,29，...,n²，n²+1，...,n²+n-1.所以表示成如下数阵更好研究
\begin{array}{llllll}3^{2}+0 & 3^{2}+1 & 3^{2}+2 & & & \\4^{2}+0 & 4^{2}+1 & 4^{2}+2 & 4^{2}+3 & & \\5^{2}+0 & 5^{2}+1 & 5^{2}+2 & 5^{2}+3 & 5^{2}+4 & \\6^{2}+0 & 6^{2}+1 & 6^{2}+2 & 6^{2}+3 & 6^{2}+4 & 6^{2}+5\\\vdots&&&&&&&\ddots \\n^{2}+0 & n^{2}+1 & n^{2}+2  &......& ......&......&& n^{2}+n-2 & n^{2}+n-1 \end{array}
于是接下来需要观察取任意两元素相加和可能重复的情况。发现同行可能重，跨行可能重，且同一个结果可能是多个取法导致的，所以研究重复的情况过于复杂，题干要求必须不借助计算机，不借助穷举，所以只好正向研究。
对于这个数列里数字的表示法是我自己想的，不知道是否有利于解题。