难倒上千人的几何题

iseemu2009

如图，△ABC中，三个圆均为各自所在三角形的内切圆，且两个绿色圆的半径相等。D、E、F均为切点，AD=4，AE=5，求GF的长度。

nyy

我怎么想，都感觉缺了一个条件！

nyy

nyy 发表于 2025-2-13 15:06
我怎么想，都感觉缺了一个条件！

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. (*子函数,海伦公式,利用海伦公式计算三角形的面积*)
   
3. heron[a_,b_,c_]:=Module[{p=(a+b+c)/2},Sqrt[p*(p-a)*(p-b)*(p-c)]]
   
4. (*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
   
5. cs[a_,b_,c_]:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
   
6. (*赋值*)
   
7. p1=1/2*(a+b+e)(*左边三角形的半周长*)
   
8. p2=1/2*(c+d+e)(*右边三角形的半周长*)
   
9. p=(a+b+c+d)/2(*大三角形的半周长*)
   
10. r1=2*heron[a,b,e]/p1(*左边小三角形的半径*)
    
11. r2=2*heron[c,d,e]/p2(*右边小三角形的半径*)
    
12. r=2*heron[a,b+c,d]/p(*最大三角形的半径*)
    
13. h=heron[a,b,e]/(b/2)(*三角形的高*)
    
14. (*列出方程,为方便迭代,把方程尽可能地多项式化*)
    
15. eq1=Numerator@Together[r1^2-r2^2](*两个小圆半径相等*)
    
16. eq2=Numerator@Together[cs[b,e,a]+cs[c,e,d]](*两个角相加=180,则余弦值的和=零*)
    
17. eq3=p1-b-5(*AE=5*)
    
18. eq4=p-(b+c)-4(*AD=4*)
    
19. eq5=(1-2*r1/h)^2-(1-2*r/h)
    
20. eqns={eq1,eq2,eq3,eq4,eq5}
    
21. ddd=NSolve[eqns==0&&a>0&&b>0&&c>0&&d>0&&e>0,{a,b,c,d,e}]
    

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代码感觉没问题，但是求解不出来

nyy

你这个可能是错题！
你可以试试先画出这样的一个大三角形。
让大家验证一下，这样的三角形确实存在

iseemu2009

再发一个构造好的图，这下相信有很多个三角形都存在满足题中条件吧。

mathe

答案是1，AE=AD+GF.不过没有找到简洁的方法

倪举鹏

红箭头长度相等，蓝箭头长度相等  简单问题想复杂了

倪举鹏

全程没有用r相等，两个圆相等应该是多余条件

nyy

无数组解就对了，因为我找到了无数组解了！
上图片。



上代码：

1. Clear["Global`*"];(*mathematica11.2,win7(64bit)Clear all variables*)
   
2. (*子函数,海伦公式,利用海伦公式计算三角形的面积*)
   
3. heron[a_,b_,c_]:=Module[{p=(a+b+c)/2},Sqrt[p*(p-a)*(p-b)*(p-c)]]
   
4. (*子函数,利用三边计算角的余弦值,角是c边所对的角*)
   
5. cs[a_,b_,c_]:=((a^2+b^2-c^2)/(2*a*b))
   
6. (*赋值*)
   
7. p1=1/2*(a+b+e)(*左边三角形的半周长*)
   
8. p2=1/2*(c+d+e)(*右边三角形的半周长*)
   
9. p=(a+b+c+d)/2(*大三角形的半周长*)
   
10. r1=2*heron[a,b,e]/p1(*左边小三角形的半径*)
    
11. r2=2*heron[c,d,e]/p2(*右边小三角形的半径*)
    
12. r=2*heron[a,b+c,d]/p(*最大三角形的半径*)
    
13. h=heron[a,b,e]/(b/2)(*三角形的高*)
    
14. (*列出方程,为方便迭代,把方程尽可能地多项式化*)
    
15. eq1=Numerator@Together[r1^2-r2^2](*两个小圆半径相等*)
    
16. eq2=Numerator@Together[cs[b,e,a]+cs[c,e,d]](*两个角相加=180,则余弦值的和=零*)
    
17. eq3=p1-b-5(*AE=5*)
    
18. eq4=p-(b+c)-4(*AD=4*)
    
19. eqns={eq1,eq2,eq3,eq4}(*形成方程组*)
    
20. ans=Solve[eqns==0,{a,b,c,d,e},Method->Reduce]
    
21. Grid[ans,Alignment->Left](*列表显示*)
    
22. GF=p2-d/.ans[[2]](*计算GF的长度*)
    
23. (*给出当e=8时的长度*)
    
24. aaa=Solve[eqns==0&&a>0&&b>0&&c>0&&d>0&&e>0&&e==8,{a,b,c,d,e},Method->Reduce]
    

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思路全部在注释里面
求解结果
\[\begin{array}{lllll}
a\to \frac{30-e}{6} & b\to \frac{5 (e-6)}{6} & c\to \frac{-e^2+7 e-6}{2 (e-3)} & d\to \frac{e^2-3 e+6}{2 (e-3)} & \text{} \\
a\to \frac{e+20}{4} & b\to \frac{5 (e-4)}{4} & c\to \frac{1}{4} \left(e^2-5 e+4\right) & d\to \frac{1}{4} \left(e^2-e-4\right) & \text{} \\
a\to b+9 & c\to 0 & d\to -1 & e\to 1 & \text{} \\
a\to b+5 & c\to 1 & d\to 4 & e\to 5 & \text{} \\
a\to \frac{11}{2} & b\to -\frac{5}{2} & c\to -\frac{1}{2} & d\to -\frac{1}{2} & e\to 2 \\
\end{array}\]

只有第二行的解是有用的，是
\[\left\{a\to \frac{e+20}{4},b\to \frac{5 (e-4)}{4},c\to \frac{1}{4} \left(e^2-5 e+4\right),d\to \frac{1}{4} \left(e^2-e-4\right)\right\}\]

计算GF的长度，等于1，
列举出其中的一个解
{{a -> 7, b -> 5, c -> 7, d -> 13, e -> 8}}

nyy

nyy 发表于 2025-2-14 13:25
无数组解就对了，因为我找到了无数组解了！
上图片。

对于
{{a -> 7, b -> 5, c -> 7, d -> 13, e -> 8}}
这组解，画图如下！