椭圆内光线反射问题

iseemu2009

如下面图一和图二，是光线经椭圆内壁镜面反射后的两种情况，我目前只能得出结论，但不知道怎么破解。一种情况是当入射第一条光线未经过两个焦点之间时，最终包络线是一个椭圆；第二种情况是当入射第一条光线穿过两个焦点之间时，最终包络线是双曲线。请高手按图中数据求解它们的方程。第三个图给出了四条光线路径样本，由前面的结论知，L1和L2由于未经过两焦点之间，将来必将形成椭圆；L3和L4经过了两焦点之间，将来必将形成双曲线。现给出椭圆一般方程，任意入射光线的方程是 y =k*x + d （保证直线与椭圆相交），求最终包络线的方程。

iseemu2009

光源点坐标写错了，应是（-4，-12/5）

nyy

你的问题太复杂了，以致于我看不懂

hejoseph

二次曲线为 $x^2/p+y^2/q=1$，直线为 $Ax+By+C=0$，则反射光线的包络线为$x^2/(p-t)+y^2/(q-t)=1$，其中 $t=(A^2p+B^2q-C^2)/(A^2+B^2)$。

四来

hejoseph 发表于 2025-2-17 14:57
二次曲线为 \(x^2/p+y^2/q=1\)，直线为 \(Ax+By+C=0\)，则反射光线的包络线为 \(x^2/(p-t)+y^2/(q-t)=1\)， ...

求过程。

iseemu2009

hejoseph 发表于 2025-2-17 14:57
二次曲线为 $x^2/p+y^2/q=1$，直线为 $Ax+By+C=0$，则反射光线的包络线为$x^2/(p-t)+y^2/(q-t)=1$，其中 $t ...

经验证，直线取不同值时，包络线都是正确的。还是那个规律：直线光源发射时经过两焦点之间，最后形成双曲线；不经过两焦点之间的连线，最后形成小椭圆。

四来

请教楼主，请问你这图是用什么软件画的？