求一个方程组的公式解

TSC999

在三角形 ABC 中，设 x、y、z 分别是 A、B、C 到内切圆的切线长，H 是三角形的垂心，AH、BH、CH 分别是 A、B、C 点到垂心的距离。
如果 AH、BH、CH 已知，而  x、y、z 未知。可以证明它们之间满足以下方程组：
\(AH=\sqrt{\frac{(x+y)^2(y+z)^2(z+x)^2}{4(x+y+z)x y z}-(y+z)^2}\)
\(BH=\sqrt{\frac{(x+y)^2(y+z)^2(z+x)^2}{4(x+y+z)x y z}-(z+x)^2}\)
\(CH=\sqrt{\frac{(x+y)^2(y+z)^2(z+x)^2}{4(x+y+z)x y z}-(x+y)^2}\)
这个方程组通常有两组正解，利用计算软件得到任意精度的数值解是没有问题的，现在的问题是，能不能找到它的公式解？

补充内容 (2025-2-19 10:28):
对于直角三角形和正三角形，这个方程组只有一组解。

iseemu2009

一种解答思路

wayne

如果题主的公式是对的,那么可以进一步化简.
已知$AH=a_1,BH=b_1,CH=c_1$,设$t=4R^2=\frac{(x+y)^2(y+z)^2(z+x)^2}{4(x+y+z)x y z}$,那么根据题主的公式,可以得到一个关于$t$的一元三次方程$t^3-2 (a_1^2+b_1^2+c_1^2)t^2 + (a_1^2+b_1^2+c_1^2)^2t-4 a_1^2 b_1^2 c_1^2=0$.
也就是 $R^2 (R^2-a_1^2-b_1^2-c_1^2)^2=4 a_1^2 b_1^2 c_1^2$, 只要解出$R$,$x,y,z$迎刃而解,具体化简的代码如下:

1. Collect[First@GroebnerBasis[{((x+y)^2 (y+z)^2 (x+z)^2)/(4(x+y+z)x y z)==t,t==(y+z)^2+Subscript[a, 1]^2,t==(x+z)^2+Subscript[b, 1]^2,t==(x+y)^2+Subscript[c, 1]^2,x+y==c,x+z==b,y+z==a},{},{a,b,c,x,y,z}],t,Factor]

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nyy

用方程组不好吗？

TSC999

设 tx、ty、tz 分别是 A、B、C 点到内切圆的切线长，AH、BH、CH 分别是 A、B、C 点到垂心的距离。
把 AH、BH、CH 作为已知量， tx、ty、tz 作为未知量，它们之间满足 1# 楼中的方程。即
\(AH=\sqrt{\frac{(tx+ty)^2(ty+tz)^2(tz+tx)^2}{4(tx+ty+tz)tx ty tz}-(ty+tz)^2}\)
\(BH=\sqrt{\frac{(tx+ty)^2(ty+tz)^2(tz+tx)^2}{4(tx+ty+tz)tx ty tz}-(tx+tz)^2}\)
\(CH=\sqrt{\frac{(tx+ty)^2(ty+tz)^2(tz+tx)^2}{4(tx+ty+tz)tx ty tz}-(tx+ty)^2}\)
这个方程组通常有两组正解（对于直角三角形和正三角形，只有一组解），利用计算软件得到任意精度的数值解是没有问题的，现在的问题是，如何找到它的公式解？
在 3# 楼中，管理员 wayne 给出了一个一元三次方程，从这个方程的解集中可以导出公式解，但是还需要完善的是，如何从三个解中自动的选择出来正确的解？
这个方程是：

wayne

在明确了$H$是三角形$ABC$的垂心的时候, 约束是多余的,因为 根据正弦定理,$a=2R sinA$,容易得到$AH=2R |cosA|$,同理 $BH = 2R |cosB|,CH=2R |cosC|$
于是,我们根据$a_1 = AH=2R |cosA|, b_1 = BH = 2R |cosB|, c_1 = CH=2R |cosC|$消元, 消除三个角度$A,B,C$,得到$(4 R^3 - (a_1^2 + b_1^2 + c_1^2 ) R)^2 = (a_1 b_1 c_1)^2$,
所以,结论就是, 我们解这两个一元三次方程$t^3 - (a_1^2 + b_1^2 + c_1^2 ) t = \pm 2 a_1 b_1 c_1$,应该有一个根是$2R$,所以我们只需要取$t>max(a_1,b_1,c_1)$的那个根.  
一般情况下是两个解.直角三角形的时候,两个解一样.

1. Block[{a = 23, b = 24, c = 25, a1, b1, c1, tri, R},
   
2. tri = SSSTriangle[a, b, c];
   
3. R = TriangleMeasurement[tri, "Circumradius"];
   
4. {a1, b1, c1} = 2 R Abs[Cos[PolygonAngle[tri]]]; {{2 R, {a1, b1, c1}, {a, b, c}} // N,
   
5. Table[ N@{r, {a1, b1, c1}, Sqrt[r^2 - {a1, b1, c1}^2]}, {r,  NSolveValues[(t^3 - (a1^2 + b1^2 + c1^2) t)^2 == 4 (a1 b1 c1)^2 &&t > Max[a1, b1, c1], t]}]}]

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TSC999

用下面这个程序可以自动筛选掉多余的根。只要输入 AH，BH，CH 的值，运行程序以后即可得到三角形三边的值和面积值。
对于直角三角形和正三角形，只输出一组解。一般的锐角三角形和钝角三角形，输出两组解。

1. Clear["Global`*"];(*三个根中最多只有一至两个根有用，下面是如何自动筛选出正确解的程序*)
   
2. AH = 10; BH = 304; CH = 233;(*锐角三角形*)
   
3. AH = 0; BH = 3; CH = 4;(*直角三角形*)
   
4. AH = BH = CH = 5 Tan[\[Pi]/3] - 5 Tan[\[Pi]/6];(*正三角形*)
   
5. AH = 5 Tan[\[Pi]/3] - 5 Tan[\[Pi]/6]; BH = 10; CH = 10;(*钝角三角形*)
   
6. 
   
7. u = AH^2 + BH^2 + CH^2; v = AH^2 BH^2 CH^2;
   
8. w1 = Power[-(u^3/27) + 2 v -
   
9.   Sqrt[(2 v - u^3/27)^2 - u^6/729], (3)^-1]; w2 = Power[-(u^3/27) +
   
10.   2 v + Sqrt[(2 v - u^3/27)^2 - u^6/729], (3)^-1];
    
11. t1 = (2 u)/3 + w1 + w2;
    
12. t2 = 1/6 (4 u + 3 I (I + Sqrt[3]) w1 - 3 I (-I + Sqrt[3]) w2);
    
13. 
    
14. If[N[Re[t1] > AH^2 && Re[t1] > BH^2 && Re[t1] > CH^2],
    
15.   Print["a1 = ", Sqrt[N[Re[t1], 100] - AH^2]] &&
    
16.    Print["b1 = ", Sqrt[N[Re[t1], 100] - BH^2]] &&
    
17.    Print["c1 = ", Sqrt[N[Re[t1], 100] - CH^2]]];
    
18. If[N[Re[t1] > AH^2 && Re[t1] > BH^2 && Re[t1] > CH^2],
    
19.   a1 = Sqrt[N[Re[t1], 100] - AH^2] ;
    
20.   b1 = Sqrt[N[Re[t1], 100] - BH^2]; c1 = Sqrt[N[Re[t1], 100] - CH^2];
    
21.   p1 = (a1 + b1 + c1)/2;
    
22.   Print["S1 = ", Sqrt[p1 (p1 - a1) (p1 - b1) (p1 - c1)] ]];
    
23. Print["。。。。。。。。。。。。。。 "];
    
24. If[N[Re[t2] > AH^2 && Re[t2] > BH^2 && Re[t2] > CH^2],
    
25.   Print["a2 = ", Sqrt[N[Re[t2], 100] - AH^2]] &&
    
26.    Print["b2 = ", Sqrt[N[Re[t2], 100] - BH^2]] &&
    
27.    Print["c2 = ", Sqrt[N[Re[t2], 100] - CH^2]]];
    
28. If[N[Re[t2] > AH^2 && Re[t2] > BH^2 && Re[t2] > CH^2],
    
29.   a2 = Sqrt[N[Re[t2], 100] - AH^2] ;
    
30.   b2 = Sqrt[N[Re[t2], 100] - BH^2]; c2 = Sqrt[N[Re[t2], 100] - CH^2];
    
31.   p2 = (a2 + b2 + c2)/2;
    
32.   Print["S2 = ", Sqrt[p2 (p2 - a2) (p2 - b2) (p2 - c2)] ]];
    

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TSC999

下面这个程序更简单，它是先由 AH、BH、CH 按方程
\( (4 R^3 - (AH^2 + BH^2 + CH^2) R +  AH BH CH) (4 R^3 - (AH^2 + BH^2 + CH^2) R - AH BH CH) = 0\)
求得三角形的外接圆半径后，再由  \( a =\sqrt{4 R^2 - AH^2};  b =\sqrt{4 R^2 - BH^2}; c =\sqrt{4 R^2 - CH^2};\)
求出各边长， 最后由  \( S =\frac{a b c }{4R}\) 求出面积。
上面那个六次方程的六个根中，由于条件 R > AH/2，R > BH/2，R > CH/2 的限制，最多只有两个根能用。这两个根
的公式表达已在下面的程序中给出。程序可自动判定各种形状的三角形有一个解还是两个解。

1. Clear["Global`*"];
   
2. AH = 10; BH = 304; CH = 233;(*锐角三角形*)
   
3. AH = 0; BH = 3; CH = 4;(*直角三角形*)
   
4. AH = BH = CH = 5 Tan[\[Pi]/3] - 5 Tan[\[Pi]/6];(*正三角形*)
   
5. AH = 5 Tan[\[Pi]/3] - 5 Tan[\[Pi]/6]; BH = 10; CH = 10;(*钝角三角形*)
   
6. AH = 10; BH = 304; CH = 233;(*锐角三角形*)
   
7. u = (AH^2 + BH^2 + CH^2)^3; v = AH BH CH;
   
8. R1 = Power[3, (
   
9.    3)^-1] (Power[-Sqrt[3] Sqrt[27 v^2 - u] - 9 v, (3)^-1] + Power[
   
10.       Sqrt[3] Sqrt[27 v^2 - u] - 9 v, (3)^-1])/6;
    
11. R2 = Power[3, (
    
12.    3)^-1] (Power[-Sqrt[3] Sqrt[27 v^2 - u] + 9 v, (3)^-1] + Power[
    
13.       Sqrt[3] Sqrt[27 v^2 - u] + 9 v, (3)^-1])/6;
    
14. If[N[Re[R1] > AH/2 && Re[R1] > BH/2 && Re[R1] > CH/2],
    
15.   a1 = Sqrt[ 4 R1^2 - AH^2]; b1 = Sqrt[ 4 R1^2 - BH^2];
    
16.   c1 = Sqrt[ 4 R1^2 - CH^2]; Print["R = ", N[Re[R1], 100]] ];
    
17. If[N[Re[R1] > AH/2 && Re[R1] > BH/2 && Re[R1] > CH/2],
    
18.   Print["S = ", N[Re[(a1 b1 c1)/(4 R1)], 100]]];
    
19. If[N[Re[R2] > AH/2 && Re[R2] > BH/2 && Re[R2] > CH/2],
    
20.   a2 = Sqrt[ 4 R2^2 - AH^2]; b2 = Sqrt[ 4 R2^2 - BH^2];
    
21.   c2 = Sqrt[ 4 R2^2 - CH^2];
    
22.   If[R2 == R1, , Print["R = ", N[Re[R2], 100]] ]];
    
23. If[N[Re[R2] > AH/2 && Re[R2] > BH/2 && Re[R2] > CH/2],
    
24.   If[R2 == R1, , Print["S = ", N[Re[(a2 b2 c2)/(4 R2)], 100 ]]]];

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例如对于锐角三角形  AH = 10; BH = 304; CH = 233，程序给出的计算结果是：
R = 189.1160857854779494092814726974916801415074861313353498896910912676648062057845971166164395417150437
S = 33513.12000360015084583393730130765683776342204411502238860909034900329439819384609646426174249196155
R = 193.9440558567612753919961906149090470401960145201871603411485430307116457627891307131652349714083547
S = 37343.02451839576560654358367901796739626253672899795611621417727102363143644715094548601358734054778
共有两个解。
又如对于直角三角形 AH = 0; BH = 3; CH = 4，程序给出的计算结果是：
R = 2.500000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
S = 6.000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000000
只有一个解。

wayne

正向思路, 首先,有一个恒等式 $\cos ^2(A)+\cos ^2(B) +\cos ^2(C)=1-2 \cos (A) \cos (B) \cos (C)$
然后, 在那个帖子我们提到了 $AH=2R |cosA|, BH = 2R |cosB|, CH=2R |cosC|$,
所以代入得到 $(4 R^3 - (AH^2 + BH^2 + CH^2) R)^2 = 16R^6*2 \cos ^2(A) \cos ^2(B) \cos ^2(C) = 4*AH^2*BH^2*CH^2$