带约束条件的n元一次不定方程的正整数解的个数

wayne

如何求下面的n元一次方程的正整数解的个数
$x_1+x_2+...+x_n=M$
$1<=x_i<=6$

mathe

也就是取函数
$f(x)=(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)^n$
将f(x)展开后$x^{M-n}$项的系数

northwolves

也就是取函数
$f(x)=(1+x+x^2+x^3+x^4+x^5)^n$
将f(x)展开后$x^{M-n}$项的系数
mathe 发表于 2009-12-8 11:55

不知能不能用简单的公式表示出来?

northwolves

似乎递归也可以:
$f(m,n)=f(m-1,n-1)+f(m-2,n-1)+f(m-3,n-1)+f(m-4,n-1)+f(m-5,n-1)+f(m-6,n-1)$

mathe

其实有没有简单的表达式没有关系，主要是如何计算会简单一些。

kon3155

直接用 mathmatic 算吧，多简单。

wayne

用软件算，简单是简单，可没法子一般化啊
此题源自某公司的游戏数值策划的笔试题。

http://74.125.153.132/search?q=c ... mp;client=firefox-a

5、在龙与地下城规则里，普遍采用了投掷骰子的方法来生成随机数。其中“d4”、“d6”和“d12”分别表示四面骰子、六面骰子和十二面骰子。而表达式“4d6+3”表示同时投掷4个六面骰子，将得到的4个数值相加，并在结果上加3。

（1）“1d12+4”和“2d6+3”的数学期望分别是多少？

（2）“2d4+1d6＋2”能生成几个不同的随机数？得到哪些数的几率最大？几率是多少？

（3）试描述“nd6”生成随机数的几率分布以及随n的变化。

wiley

$(1+x+x^2+...+x^5)^n=(1-x^6)^n(1-x)^{-n}$

展开后, $x^{M-n}$ 这项的系数:

$sum_{i=0}^{|__(M-n) /6__|} (-1)^i\ C_n^i\ C_{M-6i-1}^{n-1}$

------ ----- ----- ----- -----
对于原来的问题, 当n足够大的时候, 中心极限定理保证"nd6"的分布很好地近似与高斯分布 (平均是${7n}/2$, 方差是${35n}/12$)

wayne

似乎递归也可以:
$f(m,n)=f(m-1,n-1)+f(m-2,n-1)+f(m-3,n-1)+f(m-4,n-1)+f(m-5,n-1)+f(m-6,n-1)$
northwolves 发表于 2009-12-8 12:07

不知道这样的方程在理论上该怎么解