任解四道题之一

iseemu2009

解题
题一: 对于三角形$ABC$,存在 $\left(\cot\left(\frac{A}{2}\right)\right)^2+\left(2 \cot\left(\frac{B}{2}\right)\right)^2+\left(3 \cot\left(\frac{C}{2}\right)\right)^2 = (\frac{6p}{7r})^2$,其中$p=\frac{a+b+c}{2}$, r是内切圆半径. 求三角形$ABC$的三边的最小整数解.
题二: 求$|\sin (x)+\cos (x)+\tan (x)+\cot (x)+\csc (x)+\sec (x)|$的最小值
题三: 求和: $\sum _{n=1}^m 2 n \sin (\frac{n\pi}{m})$
题四:对于$x_1,x_2,...x_n$为任意实数, 求证 不等式$\frac{x_1}{1+x_1^2}+\frac{x_2}{1+x_1^2+x_2^2}+\frac{x_3}{1+x_1^2+x_2^2+x_3^2}+\frac{x_4}{1+x_1^2+x_2^2+x_3^2+x_4^2}+...+\frac{x_n}{1+x_1^2+x_2^2+x_3^2+...+x_n^2} <\sqrt{n}$

wayne

第一题应该不成立的。 因为 $\left(x \cos \left(\frac{a}{2}\right)\right)^2+\left(y \cos \left(\frac{b}{2}\right)\right)^2+\left(z \cos \left(\frac{c}{2}\right)\right)^2= \frac{1}{2}  (\frac{p}{r})^2 \tan ^2\left(\frac{a}{2}\right) \tan ^2\left(\frac{b}{2}\right) \tan ^2\left(\frac{c}{2}\right)\left(x^2 \cos (a)+y^2 \cos (b)+z^2 \cos (c)+x^2+y^2+z^2\right)$

$\left(x \cot\left(\frac{a}{2}\right)\right)^2+\left(y \cot\left(\frac{b}{2}\right)\right)^2+\left(z \cot\left(\frac{c}{2}\right)\right)^2 =  (\frac{p}{r})^2(x^2 \tan ^2\left(\frac{b}{2}\right) \tan ^2\left(\frac{c}{2}\right)+y^2 \tan ^2\left(\frac{a}{2}\right) \tan ^2\left(\frac{c}{2}\right)+z^2 \tan ^2\left(\frac{a}{2}\right) \tan ^2\left(\frac{b}{2}\right))$

aimisiyou

画个函数图

iseemu2009

纠正一下，第一题中的函数应是 Cot，不是Cos

nyy

第一题公式太丑了，不对称

mathe

第一题显然错了，每改对。
第二题sin(x)和cos(x)需要满足方程\(t^4-2t^3+t^2+2t-1=0\)时取极值。
第三题本质上是求和，使用求公式\(cos(x)+cos(2x)+cos(3x)+...+cos(nx)\)的求和公式吧, 求和以后再求导即可。而对前面表达式乘上sin(x/2)就应该可以求和了。

iseemu2009

mathe 发表于 2025-2-21 13:53
第一题显然错了，每改对。
第二题sin(x)和cos(x)需要满足方程\(t^4-2t^3+t^2+2t-1=0\)时取极值。
第三题本 ...

第一题是错了，能不能把本贴删了，我重新发？

yigo

第4题:
易知只需考虑\(x_1,x_2,...,x_n\)非负的情况。
令\(A_i=\frac{x_1}{1+x_1^2}+\frac{x_2}{1+x_1^2+x_2^2}+...+\frac{x_i}{1+x_1^2+x_2^2+...+x_i^2}\),
令\(u_i=\sqrt{1+x_1^2+x_2^2+...+x_i^2}\),
设\(f(x_i)=\frac{x_i}{u_{i-1}^2+x_i^2}+\frac{c_{n-i}}{\sqrt{u_{i-1}^2+x_i^2}}\) ,参数\(c_{n-i}\)为正实数,
则\(f(x_i)\)在\(x_i=g(c_{n-i})*u_{i-1}时取最大值,g(c_{n-i})=\sqrt{\frac{2}{c_{n-i}^2+2+c_{n-i}\sqrt{c_{n-i}^2+8}}}\),
\(f(x_i)_{max}=\frac{c_{n-i+1}}{u_{i-1}},c_{n-i+1}=\frac{g(c_{n-i})+c_{n-i}\sqrt{g(c_{n-i})^2+1}}{g(c_{n-i})^2+1}\),
\(c_{n-i+1}\)是关于\(c_{n-i}\)的增函数，
由于\(\frac{x_n}{u_{n-1}^2+x_n^2}≤\frac{c_1}{u_{n-1}},c_1=\frac{1}{2}\),
故\(A_n≤A_{n-1}+\frac{c_1}{u_{n-1}}=A_{n-2}+f(x_{n-1})≤A_{n-2}+\frac{c_2}{u_{n-2}}≤...≤A_{1}+\frac{c_{n-1}}{u_{1}}≤c_n\),
即：已知\(c_1=\frac{1}{2},\)证明\(c_n≤\sqrt{n}\)。
归纳法证明。
即要证明\(c_{n+1}=\frac{g(c_{n})+c_{n}\sqrt{g(c_{n})^2+1}}{g(c_{n})^2+1}≤\frac{g(\sqrt{n})+\sqrt{n}\sqrt{g(\sqrt{n})^2+1}}{g(\sqrt{n})^2+1}≤\sqrt{n+1}\),好复杂，验证了下是对的。

iseemu2009

iseemu2009 发表于 2025-2-21 15:24
第一题是错了，能不能把本贴删了，我重新发？

我才到本网站不久，不会编辑公式，只能贴图。

iseemu2009

第一题修正