正整数A×颠倒数(A)=正整数B×颠倒数(B)

northwolves

1. f[n_]:=(s=Floor@Sqrt@n;{n,Select[Table[{k,n/k},{k,Select[Divisors@n,10^(IntegerLength@s-1)<#<=s&]}],#[[1]]==IntegerReverse@#[[2]]&]});
   
2. f[5918858243794044864]

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{5918858243794044864,{{1224264384,4834624221},{1333249344,4439423331},{1466426304,4036246641},{2142462672,2762642412},{2306426652,2566246032},{2333186352,2536813332},{2356471152,2511746532}}}

wayne

数论爱好者 发表于 2025-2-26 16:15
https://oeis.org/A117282
这有1万个乘积，满足正整数A×颠倒数A=正整数B×颠倒数B，问题是怎样求出A和B? ...

n位数的组数的 统计数据:

1. {3,{2->4}}
   
2. {4,{2->34}}
   
3. {5,{2->234,3->1}}
   
4. {6,{2->1374,3->2,4->1}}
   
5. {7,{2->7010,3->17,4->5}}
   
6. {8,{2->36947,3->78,4->37}}

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---------更新于2025.02.27-----
如果要查看每个位数的详细统计,可以看目录 https://nestwhile.com/res/b117282

...

王守恩

wayne 发表于 2025-2-26 17:59
n位数的组数的 统计数据:

{3,{2->4}}=4,  A117282=4,
{4,{2->34}}=38,  A117282=38,
{5,{2->234,3->1}}=273,  A117282=271,
{6,{2->1374,3->2,4->1}}=1650,  A117282=1634,
{7,{2->7010,3->17,4->5}}=8682,  A117282=8592,
{8,{2->36947,3->78,4->37}}=45744,  b117282=44939,

wayne

这倒出乎我意料, 我对比了一下, oeis的A117282数据虽然是10000个,但是漏掉了很多,
大家可以一起找茬.
https://nestwhile.com/res/b117282/b117282-all.txt
https://oeis.org/A117282/b117282.txt

oeis的A117282数列的10000个漏掉的应该是这些数据

1. {1447044300,2704859730,114550253010,122531258880,130734886950,139161137220,143170314300,145914874300,147810009690,227208217320,237437707410,247889819700,258564554190,267618356730,269461910880,272748572730,11163401350110,11333582342010,11443371028830,11550845934010,11725566929550,.....}

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也就是说A117282数列消除掉了所有末尾是0的数字,这是不合理的.  因为, $1447044300 =25275*57252 = 27525* 52572,  2704859730 = 45495*59454 = 49545*54594$
我们可以消除$A*B=C$里的$A,B$的末尾是0的数,但是不应该消除$C$里的末尾是0的数.
去掉乘积末尾是0的情况,这才跟oeis的数据完全一致了 https://nestwhile.com/res/b117282/b117282-all-no-ending-zero.txt
如果要查看每个位数的详细统计,可以看目录 https://nestwhile.com/res/b117282
.

northwolves

也就是说A117282数列消除掉了所有末尾是0的数字,这是不合理的
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有道理

王守恩

接19楼。这《数学研发论坛》是最好的！高手如云！！学习氛围很好！！！谢谢站长(经营挺不容易的)！！！！

这里的高手大气(毫不保留)！！！到其它网站——上不了——手续繁琐——收费是小问题——关键是小气！！

这串数就是A——144, 156, 168, 276, 1224, 1236, 1248, 1326, 1339, 1344, 1356, 1368, 1428, 1456, 1464, 1476, 1568, 1584,——OEIS有这串数吗？如果有，就丢了！谢谢！

只是题目扩展一下: 正整数A×颠倒数A=正整数B×颠倒数B=正整数C×颠倒数C=正整数D×颠倒数D= ......,  。

我们约定A是最小的那个。凭这个A——可以有颠倒数A——可以有A×颠倒数A的积——可以有B——可以有C, 可以有D,  ......,  。

譬如：

63504 = 144×441=252×252。看到144——可以有441，看到144,  B^2<144×441，看到144，可以有B的首×尾=1×4=2×2,  ......

101556=156×651=273×372。看到156——可以有651，根据156,  B^2<156×651，看到156，可以有B的首×尾=1×6=2×3,  ......

144648=168×861=294×492。看到168——可以有861，根据168,  B^2<168×861，看到168，可以有B的首×尾=1×8=2×4,  ......

A117282——那 10000 个数到这里只不过是 8 位数才开始。

8楼也是挺好的(我只能看懂8楼)——虽然可以删除1/2以上。

数论爱好者

王守恩 发表于 2025-2-27 10:11
接19楼。这《数学研发论坛》是最好的！高手如云！！学习氛围很好！！！谢谢站长(经营挺不容易的)！！！！

...

oeis网站是有你的一部分数据的，它只是你研究的某个特殊系列,A属于回文数
A^2=正整数B×颠倒数B
https://oeis.org/A117281

wayne

wayne 发表于 2025-2-25 13:16
最开始的版本虽然非常快,但是占用内存也线性增加,最后到了超过计算机内存20GB,靠跟硬盘交换空间才能维持.  ...

体验了一把Google新出的 Gemini Code Assist, 帮我改进了代码, 主要是换成了素数表的预生成 和 基于整数分解的 因子生成,基本上没有太多的人工干预,最终速度提升了好几个数量级,少说有1000倍吧.
可以轻松算出 10^9的所有情况.确实如前面12#评论区的计算一致,9位数的情况下没有超过4组的解,当时并未保存所有结算结果.
现在都保存了, 放在了https://nestwhile.com/res/b117282/ 目录下,bb9文件就是9位数的解.文件有13MB. bb10文件就是10位数的解.文件有60MB.. 可执行文件是primes.exe,感兴趣的可以下载,本地测试.我就不放论坛了,节省论坛空间.
现在重新统计结果如下:

1. {3,{2->4}}
   
2. {4,{2->34}}
   
3. {5,{2->234,3->1}}
   
4. {6,{2->1374,3->2,4->1}}
   
5. {7,{2->7010,3->17,4->5}}
   
6. {8,{2->36947,3->78,4->37}}
   
7. {9,{2->184458,3->320,4->248}}
   
8. {10,{2->934725,3->1239,4->1089,5->1,6->2,7->1}}
   
9. {11,{2->4303231,3->4715,4->3622,5->7,6->2,7->1,8->1}}
   
10. {12,{2->20210264,3->15873,4->10469,5->17,6->8,7->7,8->1}}(l4m2提供)

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tally一下,就是{4, 38, 273, 1650, 8682, 45744, 230770, 1167827, 5479406}

.

wayne

计算 11位数的时候,我电脑的32GB内存不够用了.
然后进一步改进素数筛法,用一个bit代替一个字节.虽然成功打表. 但是10^11以内的素数个数有4118054813个,每个素数需要用64位来保存, 也就是说是4118054813*8/1024^3. = 30.6819GB,  这个地方又内存不够了.
果断在jd上又买了块 32GB内存,等明天扩充到64GB再说...

wayne

11位数的出现了7个5组解,2个6组,1个7组的, 1个8组的, 先发出来,尝鲜.

1. 5 481541395691529792864 -> [(10406247264, 46274260401), (11332619424, 42491623311), (11445717024, 42071754411), (20506428432, 23482460502), (21562913322, 22331926512)]
   
2. 5 503349769144693489984 -> [(10407256384, 48365270401), (11242807744, 44770824211), (12365840704, 40704856321), (21180646732, 23764608112), (21606369232, 23296360612)]
   
3. 5 517787340983908254504 -> [(11150653464, 46435605111), (12242449224, 42294424221), (12264481224, 42218446221), (21424286142, 24168242412), (21462842142, 24124826412)]
   
4. 5 555057373084685985024 -> [(11426467584, 48576462411), (12567846144, 44164876521), (13686645504, 40554668631), (21526648752, 25784662512), (23442967632, 23676924432)]
   
5. 5 574277102051422895944 -> [(12246629864, 46892664221), (12468865064, 46056886421), (13469933624, 42633996431), (20535746972, 27964753502), (22184468852, 25886448122)]
   
6. 5 587936579423914282464 -> [(12155196384, 48369155121), (14559518304, 40381595541), (21271593672, 27639517212), (23075197452, 25479157032), (23396392152, 25129369332)]
   
7. 5 706826890440111160944 -> [(14427519984, 48991572441), (14689571184, 48117598641), (15711868944, 44986811751), (15997248144, 44184279951), (25248159972, 27995184252)]
   
8. 6 541755057657512011824 -> [(11161573584, 48537516111), (12276492144, 44129467221), (13359615504, 40551695331), (21256078452, 25487065212), (21483861252, 25216838412), (23172397332, 23379327132)]
   
9. 6 596836915526861763264 -> [(12243854784, 48745834221), (13442689344, 44398624431), (13466881344, 44318866431), (14785466304, 40366458741), (21426745872, 27854762412), (23066547852, 25874566032)]
   
10. 7 549395696963228938524 -> [(11335376484, 48467353311), (12467656044, 44065676421), (13577536404, 40463577531), (20533755762, 26755733502), (22337359542, 24595373322), (22361686542, 24568616322), (22584852342, 24325848522)]
    
11. 8 340006497569227044612 -> [(12253574772, 27747535221), (13237358652, 25685373231), (13344397452, 25479344331), (13477572252, 25227577431), (14415758532, 23585751441), (14559625332, 23352695541), (14677356132, 23165377641), (15855734412, 21443755851)]
    

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