闭集的无穷并证明过程有逻辑断链吧？

jiewenji

请看下图证明过程（出自普林斯顿数学分析 P101 ），用阿基米德性质得到一个严格小于不等式，但是据此却得到了一个 x 属于闭集的结论。这一点难以接受。

或许你会说严格小于推出小于等于是可以的。针对这个说法我有两点疑问：

1 、这一步是从开集(x 属于左闭右开区间转化成闭集)转化成闭集的关键一步，很难用这个理由完成转换。因为结论就是要证明闭集的无穷并不是闭集。

2 、如果严格小于能丝滑推出小于等于。那么最终的结论我是否可以这样修改 An(从 1 到无穷的并)=[0,2)=[0,2]，因此闭集的无穷并还是闭集。同样的理由我就可以推翻整个证明结论！