十全数码数问题

数论爱好者

十全数码数=串转数(0123456789的0不在首位的一个排列)。
试求以下问题：
1. 因子数最多的十全数码数。
2. 能否找一个数的平方是十全数码数。
3. 能否找一个数的立方是十全数码数。

AI乱整一气，得到部分结果，从因式分解来看，我认为不够多，且这个数不在它的分析中，突然跳出从人类已知那里得来。最近两天多次运行AI发现它错误率很高，有点不相信它了。立方数穷举了10多个数，它说验证完了没有。
1. 十全数码数中含有因子数最多的数是哪一个数？

经过分析，3816547290 是一个满足条件的候选数。它是十全数码数，并且由于其构造特性（前n位能被n整除，n=1到10），它被分解为多个素数的乘积，从而拥有较多的约数。其素因数分解包括2³×3²×5×7×11×13×...，导致约数数目较多。虽然具体数目可能因分解不同而异，但该数被认为是已知的十全数码数中因子数目最多的。

答案：3816547290

2. 能否找一个数的平方是十全数码数？

存在这样的数。例如，99066² = 9814072356，这是一个十全数码数，包含0-9每个数字恰好一次。

答案：存在，例如99066² = 9814072356

3. 能否找一个数的立方是十全数码数？

目前尚未发现任何数的立方是十全数码数。经过对n在1000到2154范围内的验证，未找到符合条件的立方数。因此，答案是否定的。

答案：不存在

数论爱好者

这里有一个文献，平方数包含有10个数码，但位数超过10位，从它列举的来看，可能10位数里面仅有一个。
https://oeis.org/A359344

数论爱好者

数论爱好者 发表于 2025-3-3 19:02
这里有一个文献，平方数包含有10个数码，但位数超过10位，从它列举的来看，可能10位数里面仅有一个。
https ...

AI给出了错误的答案。
3816547290=2*3^2*5*19*557*4007,因子数96个
2438195760=2^4*3^2*5*7*11*13*17*199,因子数960个
3785942160=2^4*3^3*5*7*11*13*17*103,因子数1280个
4876391520=2^5*3^2*5*7*11*13*17*199,因子数1152个
下面这个最多
4753869120=2^6*3^2*5*7*11*13*17*97,因子数1344个

数论爱好者

数论爱好者 发表于 2025-3-3 19:48
AI给出了错误的答案。
3816547290=2*3^2*5*19*557*4007,因子数96个
2438195760=2^4*3^2*5*7*11*13*17*199 ...

下面这两个十全数有点意思了，如果把这两个“十全数”拦腰截断，得到两个五位数：57321与60984。
这两个五位数的平方竟然也都是“十全数”
5732160984、6098457321
57321*57321=5732160984
60984*60984=6098457321

数论爱好者

数论爱好者 发表于 2025-3-3 20:15
下面这两个十全数有点意思了，如果把这两个“十全数”拦腰截断，得到两个五位数：57321与60984。
这两个 ...

经过广泛搜索，有87个数的平方以后是十全数码数
文献如下：
https://oeis.org/A054038

northwolves

数论爱好者 发表于 2025-3-3 19:48
AI给出了错误的答案。
3816547290=2*3^2*5*19*557*4007,因子数96个
2438195760=2^4*3^2*5*7*11*13*17*199 ...

1. s=Permutations[Range@9];max=0;c=0;For[k=1,k<=Length@s,k++,n=10*FromDigits[s[[k]]];v=DivisorSigma[0,n];If[v>max,c=n;max=v]];{c,max}

复制代码

{7691523840, 1728}

northwolves

数论爱好者 发表于 2025-3-3 19:02
这里有一个文献，平方数包含有10个数码，但位数超过10位，从它列举的来看，可能10位数里面仅有一个。
https ...

1. s=Select[Range[31991,99380],DuplicateFreeQ@IntegerDigits[#^2]&]^2;{Length@s,s}

复制代码

{87,{1026753849,1042385796,1098524736,1237069584,1248703569,1278563049,1285437609,1382054976,1436789025,1503267984,1532487609,1547320896,1643897025,1827049536,1927385604,1937408256,2076351489,2081549376,2170348569,2386517904,2431870596,2435718609,2571098436,2913408576,3015986724,3074258916,3082914576,3089247561,3094251876,3195867024,3285697041,3412078569,3416987025,3428570916,3528716409,3719048256,3791480625,3827401956,3928657041,3964087521,3975428601,3985270641,4307821956,4308215769,4369871025,4392508176,4580176329,4728350169,4730825961,4832057169,5102673489,5273809641,5739426081,5783146209,5803697124,5982403716,6095237184,6154873209,6457890321,6471398025,6597013284,6714983025,7042398561,7165283904,7285134609,7351862049,7362154809,7408561329,7680594321,7854036129,7935068241,7946831025,7984316025,8014367529,8125940736,8127563409,8135679204,8326197504,8391476025,8503421796,8967143025,9054283716,9351276804,9560732841,9614783025,9761835204,9814072356}}

northwolves

数论爱好者 发表于 2025-3-3 20:15
下面这两个十全数有点意思了，如果把这两个“十全数”拦腰截断，得到两个五位数：57321与60984。
这两个 ...

这样的数字有8个：

1. s=Select[Range[31991,99380],DuplicateFreeQ@IntegerDigits[#^2]&];t=Select[Select[Permutations[s,{2}],DuplicateFreeQ@Flatten[IntegerDigits/@#]&],Count[s^2,#[[1]]^2]>0&&Count[s^2,#[[2]]^2]>0&]

复制代码

{{35172,60984},{57321,60984},{58413,96702},{59403,76182},{60984,35172},{60984,57321},{76182,59403},{96702,58413}}