一道各国中学竞赛出镜率很高的计算题

wayne

给定n，求$\sum_{k=1}^{n}\frac{1}{\sqrt{k}}$的整数部分。
这是一道考卷上的题目，我经过认真推敲，发现以下两个数，差不多可以让所有已知的放缩技巧在纸面上失效，不知道有没有新的初等放缩法。让各种 自媒体的视频教学黯然失色。
1) $n=714$
2) $n=5964$

nyy

直接积分，应该差距不太大，这个应该有渐进公式之类的

hujunhua

nyy 发表于 2025-3-24 09:20
直接积分，应该差距不太大，这个应该有渐进公式之类的

1) n=714时，和=51.9999...
2) n=5964时，和=152.99999...
积分相当于使用逼近式`\D\frac1{\sqrt n}≈\frac2{\sqrt{n-1/2}+\sqrt{n+1/2}}=2\left(\sqrt{n+1/2}-\sqrt{n-1/2}\right)`
这个是有所放大的，所以要非常小心，很容易超。
我觉得手工计算有困难。

nyy

最笨的办法就是每一项都高精度，然后求解呀。
虽然计算量大，但是这个是正确的办法呀

mathe

精度这么高，试一下欧拉-麦克劳林公式吧

wayne

mathe 发表于 2025-3-24 18:33
精度这么高，试一下欧拉-麦克劳林公式吧

是的。有的。这个表达式 对所有的$n>0$恒成立， $\lfloor\sum _{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}} \rfloor= \lfloor2 \sqrt{n}+\frac{1}{2 \sqrt{n}}+\zeta (\frac{1}{2})\rfloor$

wayne

hujunhua 发表于 2025-3-24 10:30
1) n=714时，和=51.9999...
2) n=5964时，和=152.99999...
积分相当于使用逼近式`\D\frac1{\sqrt N}≈\fr ...

主要是初等方法，如果是高等方法，结论还是很不错的。
我这里给一个上下界，对于$n>0$好像是恒成立的。$2 \sqrt{n+\frac{1}{2}}+\zeta (\frac{1}{2})< \sum _{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}} <2\sqrt{n}+\frac{1}{2 \sqrt{n}}+\zeta (\frac{1}{2})$
因为上下界夹的很紧，所以对于$n>1$,直接取整，好像也是存立的， $\lfloor 2 \sqrt{n+\frac{1}{2}}+\zeta (\frac{1}{2})  \rfloor =  \lfloor\sum _{k=1}^n \frac{1}{\sqrt{k}} \rfloor  =  \lfloor 2\sqrt{n}+\frac{1}{2 \sqrt{n}}+\zeta (\frac{1}{2}) \rfloor$

数学星空

渐近展开式可以表示为：
\(S(n) = 2\sqrt{n} + \zeta\left(\frac{1}{2}\right) + \frac{1}{2\sqrt{n}} - \frac{1}{24}n^{-3/2} + \frac{1}{384}n^{-7/2} + \frac{7}{34560}n^{-9/2} - \cdots\)