回复不确定的猜数游戏

KeyTo9_Fans

我们不猜整数了，改成猜一个实数$x$，范围是$[0,1]$。

游戏1：

一共可以猜$n$次。

每猜一次都有回应，告诉你猜大了还是猜小了。

回应只有$2/3$的概率是正确的。

每个回应的正确与否都是独立的，不受前面回应的影响。

问题1.1：

猜完$n$次之后，请你给出一个最终结果$y$。

$(x-y)^2$的值越小越好。

问应该采取什么策略，才能使得$(x-y)^2$的期望值最小？

问题1.2：

猜完$n$次之后，我们可以根据$n$个回复把$x$的概率分布密度函数求出来，记为$f(x)$。

我们希望$\int_0^1 f(x)ln(f(x))dx$的期望值最大。

问应该采取什么策略？并求出上述期望值。

游戏2：

一共可以猜$n$次，每猜一次都有回应。

如果你猜小了，那么一定会收到“猜小了”的回复；

如果你猜大了，那么有$50%$的概率会收到“猜小了”的回复，有$50%$的概率会收到“猜大了”的回复。

每个回应都是独立的，不受前面回应的影响。

问题2.1：

猜完$n$次之后，请你给出一个最终结果$y$。

$(x-y)^2$的值越小越好。

问应该采取什么策略，才能使得$(x-y)^2$的期望值最小？

问题2.2：

猜完$n$次之后，我们可以根据$n$个回复把$x$的概率分布密度函数求出来，记为$f(x)$。

我们希望$\int_0^1 f(x)ln(f(x))dx$的期望值最大。

问应该采取什么策略？并求出上述期望值。

更多游戏正在设计中。欢迎提供素材。要求规则比较清晰简洁，决策是连续量，分析最佳策略的过程比较有趣。