因式分解求助

trisinker · 发表于 2010-1-19 22:57:04

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$n^n-1$
像这样的式子当n很大时应如何分解？谢谢！

wayne · 发表于 2010-1-19 23:04:56

n^n-1
多项式？

trisinker · 发表于 2010-1-19 23:23:27

额，说错了，不是多项式。
不好意思。

KeyTo9_Fans · 发表于 2010-1-20 00:49:38

$n^n-1$

当$n>2$时，可以分解成

$(n-1)(n^(n-1)+n^(n-2)+...+n^2+n+1)$

如果n有很多个约数，设约数个数为m，

则关于x的n次多项式

$(x^n-1)$

可以因式分解成m个关于x的多项式。

然后把n代入m个因式，再继续分解。

例如：12有6个约数，于是

$x^12-1$

可以分解成6个因式：

$(x-1)(x+1)(x^2+x+1)(x^2+1)(x^2-x+1)(x^4-x^2+1)$

把$x=12$代入，得

$12^12-1$

$=(12-1)(12+1)(12^2+12+1)(12^2+1)(12^2-12+1)(12^4-12^2+1)$

$=11*13*157*145*133*20593$

$=11*13*157*(5*29)*(7*19)*20593$

$=5*7*11*13*19*29*157*20593$

mathe · 发表于 2010-1-20 08:56:26

还有一点补充,比如对于Fans上面的例子,其中145来自12^2+1,那么我们就可以知道其所有素因子都可以写成4k+1的形式.
更加一般的,如果p是a^n+1的素因子,那么p可以写成2k*d+1的形式(其中d是n的因子).
同样133来自12^2-12+1是12^3+1中来的,所以我们只要找形如6k+1的素因子.
当然,如果数字太大了,这种方法也会不管用了,那么我们可以使用一些比较通用的素数判断和因子分解方法
在wiki里面找factorization应该能够找到相关的资料

wayne · 发表于 2010-1-20 09:10:55

楼主说的是因式分解
估计没其他的一般性式子了

只能对具体的n进行分解
那就成了因子分解了

trisinker · 发表于 2010-1-20 22:03:47

Mathe和Fans,多谢，学习了！！

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