如下三次方程有几根？

wsc810 · 发表于 2010-1-21 01:04:36

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三次方程4x^3-3x-T=0（T为介于-1和1之间的参数）是有三个不相等的实根吗？（根据盛金公式）谁能做出函数图像看一下，另外这三个根怎么求。

wiley · 发表于 2010-1-21 02:09:53

注意到三倍角公式: $\cos(3x)=4\cos^3(x)-3\cos(x)$ . 因为 -1<=T<=1, 设 $\theta=\arccos(T)$ , 三个实根分别是 $\cos(\theta/3)$ , $\cos(\theta/3+{2\pi}/3)$ , $\cos(\theta/3+{4\pi}/3)$ 然后讨论一下他们是否相等.

wayne · 发表于 2010-1-21 09:15:41

我来给Wiley的解答再补充一个图：

wayne · 发表于 2010-1-21 09:27:19

其实任意的三次方程都可以用三角函数的三倍角公式来解决

282842712474 · 发表于 2010-1-26 09:12:25

问题是arccos(2)=?

282842712474 · 发表于 2010-1-26 09:20:07

我突然想到一个问题：n次方程的求根公式是个怎样的概念？里面的运算符号只能够用根号、加减乘除以及乘方吗？如果包含了诸如arccos之类的运算符，是否属于求根公式？阿贝尔和伽罗瓦证明的高于4次方程的n次代数方程没有求根公式，是指怎样的求根公式？

zfw3842415 · 发表于 2010-4-25 15:10:03

学习，了解

zgg___ · 发表于 2010-4-26 09:42:42

TO6楼，求根公式解的公式中，只能包括加减乘除和开正整数方根，没有其他的了。要求运算是有限次的。（其中乘可以取代乘方的。）

无心人 · 发表于 2010-4-26 15:56:22

五次以上存在三角函数解法的

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