奥赛练习题，分解因式（有理域）

DONPPS

请教，如何在有理域分解如下因式：
$x^8 - x^7y + x^6y^2 - x^5y^3 + x^4y^4 - x^3y^5 + x^2y^6 - xy^7 + y^8$

下式是否为最终解答：
$(x^2 - xy + y^2)(x^6 - x^3y^3 + y^6)$

谢谢。

mathe

有理域是不可继续分解了。
其实就是判断 $(x^6-x^3+1)$ 在有理域是否还可以分解。
如果逐一试探，就可以知道上面没有二次和三次的整系数因式了。
不过我记得竞赛中经常会使用一个好像叫做爱森斯坦判别式的定理，只是不记得定理具体内容了

DONPPS

谢谢版主解答，可惜查不到“爱森斯坦判别式”的资料。

无心人

TAOCP 2上有算法

就是在F(P)上分解, 然后通过结果寻找Q上的分解

mathe

你这是用计算机解数学题

找到我上面说的判别方法了:
http://mathworld.wolfram.com/Eis ... ilityCriterion.html
也就是说如果对于多项式
$a_nx^n+a_{n-1}x^{n-1}+...+a_1x+a_0$
如果存在素数$p$整除$a_{n-1},a_{n-2},...,a_0$而且$p$不整除$a_n$,并且$p^2$不整除$a_0$
那么这个多项式在有理数域上不可约。
对于多项式$x^6-x^3+1$
我们可以取$x=-y-1$代入
多项式变成
$y^6+6y^5+15y^4+21y^3+18y^2+9y+3$
正好满足Eisenstein准则中取p=3的情况，所以这个多项式在有理数域不可约。

DONPPS

真是太感谢版主啦！好像有些多项式在有理数域不可约，不能用Eisenstein准则判定，即存在例外。

不能用Eisenstein判别法判别的不可约多项式
Irreducible Polynomials Which Can Not Be Judged by Eisentein′s Irreducibilty Criterion
<<徐州师范大学学报（自然科学版）>>2001年02期 朱一心

整系数多项式因式分解的一种新方法
A New Way of Factorization of Polynomial for Integral Coefficient Polynomial
<<数学的实践与认识>>2005年01期
蒋忠樟，JIANG Zhong-zhang

利用整系数多项式与正有理数的对应，将多项式因式分解通过对真分数序列筛选的办法求得因式，给出了整系数多项式因式分解的一种新方法。

可惜不能看到全文。