下面说法是否成立?

northwolves

对于所有的正整数n
$n^2-n=n(n-1)$ 2 的倍数
$n^3-n=n(n+1)(n-1)$ 3 的倍数
$n^5-n=n(n^2-1)(n^2-4+5)=5n(n^2-1)+n(N-1)(n+1)(n-2)(n+2)$  5 的倍数
$n^7-n= n(n+1)(n-1)(n^{2}+n+1)(n^{2}-n+1) =n(n+1)(n-1)(n^{2}+n-6+7)(n^{2}-n-6+7)$ 7的倍数.
问题:
对于所有素数p,$n^p-n$是否一定是P的倍数?

KeyTo9_Fans

$n^p-n=n(n^(p-1)-1)$

分两种情况讨论：

$n$被$p$整除，则显然$n(n^(p-1)-1)$是$p$的倍数。

$n$不被$p$整除，则有$n^(p-1)%p=1$，所以$n^(p-1)-1$是$p$的倍数。

综上所述，对于所有的素数$p$,$(n^p-n)$一定是$p$的倍数。

northwolves

呵呵,原来如此简单的问题.多谢了

只是呼吸

2#的回答是对的，其实这个问题就是“费马小定理”。