完美循环差集（1）

hujunhua

当m=n(n-1)或者n(n-1)+1时, 正m边形有$C_n^2$种长度的对角线(边也算)， 问对怎样的m，可以从m个顶点中选择n个，使得两两连线恰好包括了各种长度的对角线。

几点说明：

• 这是一个古老的难题了，以前在一本“娱乐数学”书上看到过，但没搜到相关的资料。
  
• 我在386时代用QBasic编程算过，依稀记得对于m=6, 7, 12, 13, 21, 31, 73等可以，对于m=42, 42, 43, 56, 57不行。至于m=20, 30, 72等行不行，不记得了。
  
• 这不是几何问题，实则是组合数论问题。随便选一点当起点记为1，按逆时钟方向依次将m边形的顶点标为 1, 2, 3, ..., m. 对角线的长度可记为|序号差(mod m)|，取绝对值最小剩余.
  
• 我对m=73的结果印象很深，因为那9点为1, 2, 4, 8, 16, 32, 37, 55, 64. 观察到很多2的幂，我希望37和55也是，一检查果然，37=256（mod 73）, 55=128(mod 73). 即这9点正好是2^r(r=0~8). 而2对73的指数恰好是9.  较小的m=7也是如此，以后较大的应该是m=601,n=25.
  

mathe

同northwolf的问题http://bbs.emath.ac.cn/viewthread.php?tid=2100&highlight= 有点类似。
利用其中7#的方法，那么n是素数或者素数的幂的时候的解就可以构造出来。

hujunhua

两个问题有点貌似，但有本质区别。这里要求n个数两两之差连续地构成1~(n,2)。所以用那里7楼的方法，必须p=2. 这就要求2对m的指数必须是n.

mathe

问题的确不同。但是实际上那边7#的方法构造出来的结果很强，它就是p-1个数两两之差关于模(p-1)p不同余。
当然这个方法只能解决m=(p-1)p的问题，但是其中p除了是素数以外，还可以是素数的幂（不过这样就需要群论的帮助了）