关于复数范围内的三角函数和反三角函数

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$cos z =\frac{e^{iz}+e^{-iz}}{2}$吧，那么根据这个公式，复数的三角函数解决了。

但是arccos z 呢？在高中，对于反余弦，一般的z大于1都是无意义的，更不用说复数了。那么这个怎么求呢？网络中流传了不同的版本，哪个才对？

我记得好像用到对数的，这又牵涉到：$ln z=?$

（z是复数）

PS：我发现中文维基上三角函数内容错误N多

mathe

由于指数函数不是单射（周期为$2pii$的函数），所以实际上对数函数不是真正意义上的函数（因为它是多值的），在复变函数里面，指数函数exp(x)的逆函数用$Ln(z)$来表示，而通常将其中函数值虚部在$[0,2pii)$之间的分支记为$ln(z)$.
类似，反三角函数也有相同的性质，同样我们只能取其中一个分支（解的实部在制定范围，比如$[0,pi)$）.
通常在复数范围内，我们要避免使用这些多值函数，而尽量使用性质良好的整函数。
同样在实数范围我们还会使用函数$a^x$,其中a是不等于e的正实数，而这个在复数范围内也要避免使用。
比如我们可以使用记号$exp(ln(10)z)$,但是不要使用$10^z$,后面的记号有歧义

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由于指数函数不是单射（周期为$2pii$的函数），所以实际上对数函数不是真正意义上的函数（因为它是多值的），在复变函数里面，指数函数exp(x)的逆函数用$Ln(z)$来表示，而通常将其中函数值虚部在$[0,2pii)$之间的分支 ...
mathe 发表于 2010-1-29 09:44

现在有点懂了，一旦牵涉到虚数，就不能由“常识”来决定了