数列问题

trisinker

1.已知等差数列${a_n}$及等比数列${b_n}$,存在正整数k和m使得$a_k=b_k$,$a_m=b_m$,问是否存在异于k和m的整数l使得$a_l=b_l$?

2.已知数列${b_n}$为等比数列,${S_n}$为其前n项和，并且存在整数k和m使得
$kS_m=mS_k$，求${b_n}$的公比。

gxqcn

我先来回答问题1，
请考察公差=0的等差数列，及公比=1的等比数列，说白了，就是两个一样的常数列。
有点捣乱的说。

对于问题2，
公比=1显然满足要求，非1的解比较麻烦。

hujunhua

第1题：除了郭大所说的这种极端特例，无解。因为直线与指数函数最多也就俩交点。

trisinker

有非常数列解。
比如-1，2，-4，8满足第二题。
-1，2，5，8与-1，2，-4，8满足第一题

northwolves

$a_n=a_0+d*n$
$b_n=b_0*q^n$
Let $b_0q^x=a_0+xd$
显然,d=0,q=1 ,首项相同 或d=0,q=-1 ,首项相反 可以满足条件
如果$b_0<>0$ ,则有$q^x=\frac{a_0}{b_0}+\frac{k}{b_0}*d$ 当$q>0$时,最多2个解,$q<0$时,理论上有无数个解

trisinker

当m=tk时，设x0为x^t-tx+t-1=0的根,则q^k=x0.此种情况下归结为求x^t-tx+t-1=0的根。
在m=tk+r,0<r<k还没找到方法。

问像x^t-tx+t-1=0此类方程怎么解？

mathe

$q=-1/2,m=3,k=2$
$1,-1/2,1/4$
$S_2=1-1/2=1/2$
$S_3=1-1/2+1/4=3/4$
$2*S_3=3/2=3*S_2$

mathe

实际上我们知道如果等比序列中公比是整数，对于问题2只能公比为1，
但是如果等比可以是负数-q,两个整数一奇一偶，那么设$k=2a,m=2b+1$
${1-q^{2a}}/{2a}={1+q^{2b+1}}/{2b+1}$
$2aq^{2b+1}+(2b+1)q^{2a}=2b+1-2a$
所以只要$2b+1>2a$,那么必然在$q in (0,1)$区间内有解。

mathe

而如果k和m都是奇数，公比为-q<0,k<m
那么我们得到${1+q^k}/k={1+q^m}/m$
设$f(q)={1+q^k}/k-{1+q^m}/m$,那么$f(1)=2/k-2/m>0$,
而$f(+infty)=-infty$,所以存在$q>1$使得f(q)=0
于是都k和m都是奇数时，存在公比小于-1满足条件
比如k=3,m=5,有数值解q=1.384811563343961240586431189
也就是数列
1,-1.384811563343961240586431189,1.917703065971145975494138958,-2.655657380817010296873036331,3.677585049235133453478174844
其中$S_3=1.532891502627184734907707769,S_5=2.554819171045307891512846282$
$5*S_3=7.66445751313592367453853884=3*S_5$

mathe

而trisinker给出的是9#中m是k的倍数时的特殊情况。
而所有多项式，都可以通过牛顿迭代法求出数值解