两个平均数迭代出来的极限值

KeyTo9_Fans

设$a$、$b$是两个正实数。

记$H=(2ab)/(a+b)$，这个值我们称它为调和平均数。

记$G=sqrt(ab)$，这个值我们称它为几何平均数。

记$A=(a+b)/2$，这个值我们称它为代数平均数。

记$S=sqrt((a^2+b^2)/2)$，这个值我们称它为平方平均数。

在一个梯形中，$H$、$G$、$A$、$S$的用处如下：



这几个平均数有这样的关系：

$H\le G\le A \le S$

除此之外，我自创了一个平均数。

记$T=(a^2+b^2)/(a+b)$，这个值不知道叫什么平均数，也不知道有什么用。

但有这样的关系：

$H\le G\le A \le S\le T$

除了考察$H$、$G$、$A$、$S$、$T$的值以外，我们还可以从它们之间拿两个出来组合，于是有$10$个组合平均数：

$HG$、$HA$、$HS$、$HT$、$GA$、$GS$、$GT$、$AS$、$AT$、$ST$

以$GA$为例，组合方法如下：

从$a$、$b$开始，求出$G(a,b)$、$A(a,b)$。

然后用$G(a,b)$代替$a$，$A(a,b)$代替$b$。

重复以上步骤，$a$和$b$就会收敛于同一极限。

我们把这个极限记为$GA$。

其它组合同理。

$10$个组合有如下关系：

$H\le HG\le G=HA \le HS\le GA\le GS\le A=HT\le AS\le GT\le S\le AT\le ST\le T$

KeyTo9_Fans

如果谁感兴趣的话，可以试着先证明一下极限存在，然后证明一下上面的关系式。

我估计证明起来并不简单，所以我先不考虑一般的情况。

我现在对极端情况比较感兴趣。

当$a=0$,$b=1$时，有：

$H=HG=G=HA=HS=GA=GS=0$，

$A=0.5$，$HT$不收敛，$AS=?$，$GT$不收敛，$S=sqrt(2)/2$，$AT=?$，$ST=?$，$T=1$。

为了让$HT$和$GT$收敛，我们设$a=\varepsilon$，然后让$\varepsilon->0$，于是$HT$和$GT$都收敛了。

此时仍然有$H=HG=G=HA=HS=GA=GS=0$。

而$HT=A=0.5$。

但$GT$的值似乎还是有点诡异。

这个值好像与重抛硬币问题的答案类似：

当$\varepsilon->0$时，$GT$的值并不稳定。

例如：

当$a=1e-138$，$b=1$时，$GT=0.6499437072222968$
当$a=1e-188$，$b=1$时，$GT=0.6499561477752101$
当$a=1e-308$，$b=1$时，$GT=0.6499493618287748$

大家也试着求一求这个$GT$值，看看是不是不稳定。

如果不稳定，看看上下极限各是多少。

能不能换一种方式求这个$GT$值，使之收敛？

（类似于我在重抛硬币问题中提出的想法：

http://bbs.emath.ac.cn/viewthrea ... 94&fromuid=1394

）

如果能使这个值收敛，那么收敛出来的值会不会也像重抛硬币问题一样，是一个比较简洁的常数？

mathe

证明极限存在不是很难，这个是由于对于任意两个均值M1,M2,我们有
$a<=M1<=M2<=b$,于是变换后的a单调增（有上界b），b单调减（有下界a),所以两者都有极限。
我们只要证明两者极限相等就是了。这一点反证就可以了。假设两者极限不同，设极限为$a_0,b_0$,其中必然有$a_0<b_0$.然后只要迭代充分多次，必然有a,b的值非常接近$a_0,b_0$,那么我们只要再迭代一次，计算一下就会发现结果落在区间$(a_0,b_0)$，同a,b的单调性矛盾了。
当然有一点，不能出现0或负数，我们需要所有数据都是正数。

wayne

这个跟第一类完全椭圆积分扯上关系了

http://en.wikipedia.org/wiki/Arithmetic-geometric_mean

http://mathworld.wolfram.com/Arithmetic-GeometricMean.html

wiley

楼主, 提供些思路参考一下.  你的 $T$ 是 $H$ 对于 $A$ 的对称 (也是 $A$ 对于 $S$ 的几何对称).  有了mathe极限存在的证明, $HT=A$ 对于任意的 $a,\ b>0$ , 因为每次 $HT$ 的迭代, 产生的两个数的 $A$ 不变.
同理 $HA=G$ , 因为 $G$ 在 $HA$ 的迭代过程中不变.

有了这个想法, 证大多数的不等式应该蛮直接的.  比如 $GT\le S$ , 先构造一个新的平均 $G'(a,b)=\sqrt{a^2+b^2-ab}$ , 同前 $S=GG'$, 所以只要证 $T\le G'$ , 两边平方, 移项即可.

KeyTo9_Fans

经过粗糙的计算，当$a$逐渐趋于$0$时，$GT$的极值如下：

     log(a)                           GT
     -2.698913     0.6499579062777978
    -4.059200     0.6499426813997211
     -5.737898     0.6499563094909547
      -8.111901     0.6499426762115624
   -11.473629     0.6499563095283726
  -16.223803     0.6499426762115624
  -22.942926     0.6499563095480064
  -32.445439     0.6499426762078032
  -45.883686     0.6499563095497954
  -64.888712     0.6499426762068598
  -91.765206     0.6499563095502217
-129.775258     0.6499426762066218
-183.528247     0.6499563095503178
-259.548350     0.6499426762065617

所以当$a->0$，$b=1$时，$GT$的极限值不存在。

上极限约为$0.64995630955$

下极限约为$0.64994267621$

上下极限的代数平均数为$0.64994949288$

Buffalo

高斯的一个定理：把从初始数据a，b开始迭代得到的极限值记为$M(a,b)$，$M(a,b)\int_0^{\pi/2}\frac{d\theta}{\sqrt{a^2\cos^2 \theta+b^2\sin^2 \theta}}=\pi/2$。
证明：定义$I_n=\int_0^{\pi/2}\frac{d\theta}{\sqrt{a_n^2\cos^2 \theta+b_n^2\sin^2 \theta}}$，作（高斯的不可思议的）变量代换$\sin\theta=\frac{2a_n\sin\phi}{a_n+b_n+(a_n-b_n)\sin^2\phi}$，于是得到$I_n=I_{n+1}=...=\frac{\pi}{2M(a,b)}$，证毕。

hujunhua

T可以称为自权平均数。
λa+μb称为加权平均数，非负系数λ, μ称为权重，满足λ+μ=1， λ/μ称为权重比。
${a^2+b^2}/{a+b}=a/{a+b}a+b/{a+b}b$是取其自身之比a/b为权重比的加权平均，故名。

调和平均数${2ab}/{a+b}=b/{a+b}a+a/{a+b}b$是取其反比b/a为权重比的加权平均数。
代数平均数值则是取等权重的加权平均数。

mathematica

8# hujunhua


这个名字不错!