关于曲率半径的疑问

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平面曲线c(t)=[x(t),y(t)]，网上给出的曲率半径公式为
$\frac{(x'^2+y'^2)^{3/2}}{x'*y''-x''*y'}$

但是我从物理角度出发，推导的结果却不同：
物理关于物体的运动速度v和曲率半径R的关系为：$a=\frac{v^2}{R}$
a是法向加速度

假设平面曲线c(t)=[x(t),y(t)]是一个质点的运动轨迹，t即时间，于是运动速度为：$v=(x'^2+y'^2)^{0.5}$
加速度为$a=v'=(x'^2+y'^2)^{-0.5} (x'x''+y'y'')$
于是$R={v^2}/a=\frac{(x'^2+y'^2)^{3/2}}{x'x''+y'y''}$
两者好像并不相等，为什么呢？我的哪里出错了呢？

wiley

楼主, 你需要速度的切向分量, 和加速度的法向分量, 而不是用总的速度和加速度

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楼主, 你需要速度的切向分量, 和加速度的法向分量, 而不是用总的速度和加速度
wiley 发表于 2010-2-10 16:45

那“切向分量”需要怎么做？

hujunhua

速度倒没问题，总是在切向，但加速度却不是总在法向。要用矢量形式来做。
$v=i\dot x+j\dot y$
$a=i\ddotx+j\ddot y$
法向就是$k\xx v$的方向，即$-i\dot y+j\dot x$, 单位矢量$t^0=(-i\dot y+j\dot x)/|v|$, a在此方向的分量大小为$a_n=a\cdot t^0=(\dot x\ddot y-\dot y\ddot x)/|v|$

$R=|v|^2/a_n=|v|^3/(\dot x\ddot y-\dot y\ddot x)$