一道形式比较优美的数论证明题,1^n+2^n+…+(p-1)^n=0 (mod p)

mathe

如果不知道原根，我们只要任意选择t,使得(p,t)=1
那么对于任意0<i<j<p,由于$t*i != t*j (mod p)$
所以$t*1,t*2,...,t*(p-1)$模p是$1,2,...,(p-1)$模p的一个置换即可
于是得出
$(t*1)^n+(t*2)^n+...+(t*(p-1))^n = 1^n+2^n+...+(p-1)^n)(mod p)$
于是$p|(t^n-1)(1^n+2^n+..._+(p-1)^n)$
对于一切(t,p)=1成立
所以只要存在(t,p)=1，使得$t^n-1$不是p的倍数即可。