Puzzle 527. sigma(x) = 1 (mod x)

medie2005

It is obvious that all primes are solutions for the following equation.

        sigma(x) = 1 (mod x) (*)

    Q. Can you find a composite solution for (*) ?
sigma(x) 表示x的所有因子的和，比如sigma(6)=1+2+3+6=12。

wayne

算到了5*10^8了，没有，我放弃了，
我都怀疑到底有没有这样的合数

mathe

首先，容易得出x必然是奇数。
然后假设$x=p_1^{t_1}p_2^{t_2}...p_h^{t_h}$为奇数
那么$sigma(x)={(p_1^{t_1+1}-1)(p_2^{t_2+1}-1)...(p_h^{t_h+1}-1)}/{(p_1-1)(p_2-1)...(p_t-1)}$,而$sigma(x)>x+1$,所以我们得到必须有$sigma(x)>2x$
由此得到${p_1p_2...p_h}/{(p_1-1)(p_2-1)...(p_h-1)}>2$

wayne

首先，容易得出x必然是奇数。
然后假设$x=p_1^{t_1}p_2^{t_2}...p_h^{t_h}$为奇数
那么$sigma(x)={(1+p_1^{t_1+1})(1+p_2^{t_2+1})...(1+p_h^{t_h+1})}/{(p_1-1)(p_2-1)...(p_t-1)}$,而$sigma(x)>x+1$,所以我们得到 ...
mathe 发表于 2010-3-2 15:56

mathe写错了，哈哈，应该是$sigma(x)={(p_1^{t_1+1}-1)(p_2^{t_2+1}-1)...(p_h^{t_h+1}-1)}/{(p_1-1)(p_2-1)...(p_t-1)}$

mathe

mathe写错了，哈哈，应该是$sigma(x)={(p_1^{t_1+1}-1)(p_2^{t_2+1}-1)...(p_h^{t_h+1}-1)}/{(p_1-1)(p_2-1)...(p_t-1)}$
wayne 发表于 2010-3-2 16:00

刚刚发现

mathe

而如果要求比例为2,那就要求$sigma(x)$为偶数，也就是说x必须是完全平方数。
要不然，比例至少要3以上，那么至少需要23以前的所有奇素数才能够满足条件，也就是x至少要8个素因子，这个肯定很难找到。
所以唯一还有可能考虑的是可以看看是否存在平方数x,使得$sigma(x)-1=2x$

medie2005

而如果要求比例为2,那就要求$sigma(x)$为偶数，也就是说x必须是完全平方数。
mathe 发表于 2010-3-2 16:07

这个？什么意思？

mathe

应该是$sigma(x)$是奇数，也就是x是完全平方数

medie2005

http://www.primepuzzles.net/puzzles/puzz_527.htm
Antoine Verroken wrote:

    According to R. Guy and G. Cohen numbers with sigma(x) = 2 * x + 1 have been called quasiperfect numbers ( they are abondant numbers sigma(x) > 2*x ). If there exists it must be an odd square number > 10^35 and have at least 7 distinct prime factors. It is relatively easy to prove that there exists no “ composite x “ for x = p * q and x = p * q * r ( p,q,r primes ) with sigma = k * x + 1.

郭先抢

数论难题呀，别折腾了