最佳的下注策略

KeyTo9_Fans

假设有一个期望收益为正的赌博游戏，下注金额可以是任意实数。

每次下注都有$60%$的概率赢得一倍的下注金额，但有$40%$的概率赔掉下注的金额。

比如下注$1$块钱，有$60%$的概率拿回$2$块钱，有$40%$的概率输掉下注的$1$块钱。

游戏开始的时候只有$1$块钱，有$N$次下注机会。

游戏过程中不允许借钱。

如果中途不小心把钱输光，就永远没有翻身的机会了。

现在有另一位绝顶聪明的对手也在一起玩这个游戏。

玩的过程中大家都只知道自己的输赢和钱数，不知道对方的输赢和钱数。

各自下注完$N$个回合后才公开自己的钱数。

我们希望$N$个回合后自己的钱比对方的钱多。

问应该采取怎样的下注策略？

mathe

每次是否可以不下注？

mathe

还有出现平局时候的权重如何计算呢？

qianyb

那你就各种情况下都考虑一下好了

KeyTo9_Fans

理论上任何金额数都可以下，不受最小单位是分的限制。

所以下注金额为$0$也是允许的，甚至是负数也允许，但这样好像会吃亏。

为了不把问题变复杂，规定下注金额最小为$0$，最大为当前的钱数。

zYr

我看只能拼人品

mathe

没有注意到实数这个条件，那么的确不需要考虑平局的因素。
不过N=1时候的计算已经有点麻烦了。
对于N=1,我们假设两个人的策略分别是以f(x)和g(x)的概率下注x,其中$0<x<1$,
由于局面对两个人对等，最佳策略下，必然有对于任意g(x)都有
$int_0^1 0.6f(x)dx int_0^xg(y)dy>=0.5$
记$G(x)=int_0^xg(y)gy$,那么G(0)=0,G(1)=1,而且G(x)单调。
我们分别选择$G(x)={1-exp(-sx)}/{1-exp(-s)}$代入，其中s>0
得到${1-L(f)(s)}/{1-exp(-s)}>=5/6$
而我们只要取f为$1-5/6(1-exp(-s))$的Laplace逆变换就可以满足条件。
这个就是N=1的解，谁来计算一下？

KeyTo9_Fans

当$N=1$时，不就直接压$1$块钱就可以了吗？

如果压赢了，则无论对方压多少，都是我方钱多。

所以我方胜率恒为$60%$。

但对方不是笨蛋，所以对方也会跟着压$1$块钱。

于是最终结果是大家都压$1$块钱。

结果是我方有$24%$的概率获胜，$24%$的概率落败，$52%$的概率与对方打平。

shshsh_0510

设第i次投注x，每次收益期望：20% X
如果输了，则损失了后N-i次继续收益的机会，为X ( 20%)^(N-i)

mathe

这个题目算期望意义不大。如果只算期望，显然每次压做多最好，但是收益大风险也大，那样失败一次就完全丧失机会了。