一个方程的表达式

northwolves

已知三个方程:
（1） $a1*v1+a2*v1^2+a3*v1^3+...+an*v1^n = R1 $    其中a1,a2,...an,R1全部是已知常数, v1小于1大于0
（2） $b1*v2+b2*v2^2+b3*v2^3+...+bn*v2^n = R2$     其中b1,b2,...bn,R2全部是已知常数, v2小于1大于0
（3） $(a1+b1)*v3+(a2+b2)*v3^2+(a3+b3)*v3^3+...+(an+bn)*v3^n = R1+R2$
问题:
是否存在某个表达式，让v3可以用v1,v2,R1,R2经过运算得出，即：
v3=f(v1,v2,R1,R2)?

northwolves

$n=1$ 时, $v3=\frac{v1v2(R1+R2)}{R1v2+R2v1}$

northwolves

不知有没有通用的关系式$v3=f(v1,v2,R1,R2)$？

mathe

应该没有什么方便的方法。

northwolves

应该没有什么方便的方法。
mathe 发表于 2010-3-11 17:39

多谢mathe关注.我的意思是: 对于任意的n,只要满足三个方程,是否都可用$v1,v2,R1,R2$ 四个数值来表示$V3$?  直觉不可以,但如何证明?

数学星空

多谢mathe关注.我的意思是: 对于任意的n,只要满足三个方程,是否都可用$v1,v2,R1,R2$ 四个数值来表示$V3$?  直觉不可以,但如何证明?
northwolves 发表于 2010-3-11 21:29

我觉得:V1只与方程(1)系数a1,a2,....,an,R1有关系.
              V2只与方程(2)系数b1,b2,....,bn,R2有关系.
              V3主要与方程(1),(2)系数a1,a2,....,an,b1,b2,....,bn,及R1,R2有关系.
                    若硬要说找出V3与V1,V2,R1,R2关系,除非能给出n元方程的显式解(但我们已知对于五次及以
          上 的就不存在根式解)因此,不可得到表达式

wayne

这道题的意义倒挺诱人的。

mathe

主要问题在于n次方程是有那个解的,使用(0,1)范围的限制无法保证唯一解的.
而数值解n次方程本身已经相当快速
不过如果实际中你遇到的这些对应系数基本相等(只有微小的变化),而且求的是数值解,那倒是可以通过有比直接解方程快的方法.

hujunhua

呵呵，看n=1 的例子，楼主是想消元——欲消之元是那些常系数。

如果你要消去那些常系数，那么它们便不再是常数，而是成了你眼中的变元。消元理论说，n个独立约束只能消去n-1个变元。你就3方程，却想消去2n个变元! 呵呵， 唯有2n=3-1时!

wayne

而且，这三个方程是独立的