德克萨斯扑克的先验胜利概率分析

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窝窝里的默认应用《德克萨斯扑克》是一个挑战参与者智商的游戏。 基本玩法： 比牌规则： 游戏流程： 游戏举例： 我想编写一个辅助程序，帮助我在游戏中做出最理性的决策。 为了简化问题，我们假设只有两个玩家，且先不考虑对方的决策为我们提供的信息。 我们只对手牌和公共牌的所有情况做先验胜利概率分析。 任务一：列出一张$C_52^2*C_52^2$的表，表示两家手牌已知、5张公共牌未知的情况下，我方的先验胜利概率。 完成任务一后，我们就可以根据我方的手牌决定跟注、加注还是放弃。 如果不放弃，就会看到3张公共牌。 任务二：编写一个程序，输入我方2张手牌及3张公共牌的点数和花色，输出$C_47^2$个数，表示对方手牌已知、2张公共牌未知的情况下，我方的胜利概率。 完成任务二后，我们就可以根据我方的手牌及3张已知的公共牌决定跟注、加注还是放弃。 如果不放弃，就会看到第4张公共牌。 任务三：编写一个程序，输入我方2张手牌及4张公共牌的点数和花色，输出$C_46^2$个数，表示对方手牌已知、1张公共牌未知的情况下，我方的胜利概率。 完成任务三后，我们就可以根据我方的手牌及4张已知的公共牌决定跟注、加注还是放弃。 如果不放弃，就会看到第5张公共牌。 任务四：编写一个程序，输入我方2张手牌及5张公共牌的点数和花色，输出3个数，表示5张公共牌已知的情况下，对于对方手牌的$C_45^2$种情况，有多少种情况我方获胜、多少种情况我方落败、多少种情况双方打平。并列出所有我方落败的情况。 完成任务四后，我们就可以根据我方的手牌及5张公共牌决定跟注、加注还是放弃。 任务五：考虑对方的决策。讨论一下能否根据对方跟注或加注的行为，获得额外的信息，帮助我方更好地做决定。 Fans将和大家一起做这五个任务，和大家交流解决思路和实现方法，并对照一下结果，确保结果正确无误。 如果大家对Fans的工作有较大的帮助，将会赢得Fans的奖赏。 希望在辅助程序的帮助下，我们可以在德克萨斯扑克游戏中脱颖而出，在总排行榜中占领一席之位。

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首先，我们分析一下任务一的计算量。 相当于把$52$张牌分成$4$组： 1. $5$张公共牌 2. 我方的$2$张手牌 3. 对方的$2$张手牌 4. 其余的$43$张牌 共有$(52!)/(5!*2!*2!*43!)=2781381002400$种分组方案。 当分组方案确定后，双方输赢也就确定了。 我们对$2781381002400$种具体情况逐一分析。 这样就可以得到手牌已知、公共牌未知的情况下，我方的胜利概率了。 由于分组方案有点多，我们需要提高分析的效率。 即公共牌和双方手牌都已知的情况下，如何用最快的速度判断输赢。 判断输赢的效率直接影响到整个任务一的运行时间。 所以快速判断输赢是完成任务一的关键。 欢迎大家提供思路。

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由于判断输赢涉及到比牌规则的问题。 而图片中的比牌规则说得不够详细。 主要是大家的牌型都相同时，如何进一步比较大小的问题。 Fans很有必要在这里详细说明一下。 1. 皇家同花顺 皇家同花顺的$5$张牌是固定的，所以所有的皇家同花顺大小相同。 2. 同花顺 比较同花顺的大小，只要比较点数最大的牌即可，点数相同则大小相同，忽略花色。 但$A2345$例外，这手牌是最小的同花顺。 3. 四条 先比较四条的点数，四条点数相同则比较剩下的单张牌的点数。 4. 葫芦 先比较三条的点数，三条点数相同则比较对子的点数。 5. 同花 忽略花色，先比较点数最大的牌，然后是点数第二大的牌，依次类推。 6. 顺子 只要比较点数最大的牌即可，点数相同则大小相同，忽略花色。 但$A2345$例外，这手牌是最小的顺子。 7. 三条 先比较三条的点数，点数相同则依次比较$2$张单牌的点数。 8. 两对 先比较大对子的点数，然后是小对子的点数，最后是单牌。 9. 一对 先比较对子的点数，然后依次比较$3$张单牌的点数。 10. 高牌 先比较点数最大的牌，然后是点数第二大的牌，依次类推。 比牌细则在五个任务中都很重要。 如果有不正确的地方，请大家及时指正。

好地方

任务一中已知两家手牌没有意义啊（按规则摊牌前任何时候你都不知道对手的牌），应该只需要计算仅知道自己手里两张牌时的先验概率就行了。

wayne

今天玩了一会，哈哈 一个葫芦赢了1000多分。。。

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To 楼上两位： $4#$说得有道理。 $5#$真是幸运。 其实不仅要看到自己的牌有多大，还要看人家是否有可能有更大的牌。（尤其是人家下了很大的注的时候） 所以当你的手牌的胜率不是天下无敌的时候就要小心了。 所以我们要看对方手牌在哪些情况下我方手牌占优势，哪些情况下我方手牌占劣势。 尤其要重点分析使得我方手牌占劣势的情况，根据对方的反应来确认或否认这些情况。

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快速判断输赢的方法： 给成手牌编码。 int类型的整数有$32$个bit位。 我们使用其中$24$个bit位来表示成手牌。 每$4$个bit位分一组，一共有$6$组。 相当于把成手牌编码成$6$个$0$到$15$的整数。 第$1$个整数表示牌型。 其中： $0$表示散牌； $1$表示一对； $2$表示两对； $3$表示三条； $4$表示顺子； $5$表示同花； $6$表示葫芦； $7$表示四条； $8$表示同花顺； $9$表示皇家同花顺。 其余$5$个整数表示该牌型的附加信息： 皇家同花顺没有附加信息； 同花顺的附加信息为顺子末端的点数，只需用$1$个整数来表示，范围为$5$到$14$。（其中$11$表示$J$、$12$表示$Q$、$13$表示$K$、$14$表示$A$） 四条需要附加$2$个整数，第$1$个整数表示四条的点数，第$2$个整数表示单张的点数。 葫芦需要附加$2$个整数，第$1$个整数表示三条的点数，第$2$个整数表示对子的点数。 同花需要附加$5$个整数，从大到小把$5$张牌的点数列下来。 顺子只需附加$1$个整数，表示顺子末端的点数。 三条需要附加$3$个整数，第$1$个整数表示三条的点数，第$2$个整数表示较大的单张的点数，第$3$个整数表示较小的单张的点数。 两对需要附加$3$个整数，第$1$个整数表示大对子的点数，第$2$个整数表示小对子的点数，第$3$个整数表示单张的点数。 一对需要附加$4$个整数，第$1$个整数表示对子的点数，后面$3$个整数从大到小把$3$张单牌的点数列下来。 散牌需要附加$5$个整数，从大到小把$5$张牌的点数列下来。 示例： 散牌$KQ542$编码成$0x0DC542$； $88Q97$编码成$0x18C970$； $A A225$编码成$0x2E2500$； $888KJ$编码成$0x38DB00$； 不同花的$56789$编码成$0x490000$ 同花的$AKJX9$（$X$表示点数$10$）编码成$0x5EDBA9$； $33377$编码成$0x637000$； $XXXXA$编码成$0x7AE000$ 同花的$A2345$编码成$0x850000$； 黑桃的$AKQJX$编码成$0x900000$。 （如有不正确的地方，请指正） 对成手牌编码后，只要比较编码的大小，就知道谁的成手牌最大了。 大家觉得这个方法如何？是否有更好的方法？ ##### 接下来还要讨论如何快速地从$2$张底牌和$5$张公共牌中选出最大$5$张牌组成成手牌。

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$2$张底牌加$5$张公共牌一共是$7$张牌。 如果直接枚举选哪$5$张牌，则需要讨论$C_7^5=21$种选取方案。 对于每种选取方案，还要根据其牌型对其编码。 这样所花费的时间太多了。 所以我们希望在不枚举选牌方案的前提下，直接从$7$张牌中找到最大的$5$张成手牌。 首先把$7$张牌的信息整理成$5$个数组： $p[7]$、$c[7]$、$pts[15]$、$col[4]$、$mark[15][4]$。 其中： $p$数组表示$7$张牌的点数，范围是$1$到$14$（在检查顺子的时候，$A$既可以当$1$点，也可以当$14$点）； $c$数组表示$7$张牌的花色（$0$表示方片，$1$表示梅花，$2$表示红桃，$3$表示黑桃）； $pts$数组统计每个点数有多少张牌； $col$数组统计每个花色有多少张牌； $mark$数组标记每张牌是否出现，出现则标$1$，没出现则标$0$。 在统计$pts$数组的同时，为变量$p2$、$p3$、$p4$赋值。 其中： $p2$表示有哪些点数达到了$2$张； $p3$表示有哪些点数达到了$3$张； $p4$表示有哪些点数达到了$4$张。 初始时$p2$、$p3$、$p4$都为$0$。 一旦某个点数$p$达到$2$张，则$p2$=($p2$<<$4$)|$p$； 一旦某个点数$p$达到$3$张，则$p3$=($p3$<<$4$)|$p$； 一旦某个点数$p$达到$4$张，则$p4$=$p$。 在统计$col$数组的同时，为变量$c5$赋值。 初始时$c5=-1$。 一旦某个花色$c$达到$5$张，则$c5$=$c$。 好了，现在大概可以直接找到最大的$5$张成手牌并为其编码了。 如果$c5=3$则检查$mark[14][3]$到$mark[10][3]$是否全为$1$。是则说明有皇家同花顺，判断到此结束；否则继续。 如果$c5> -1$则依次检查$mark[14][c5]$到$mark[1][c5]$，一旦有连续$5$个标记为$1$，则说明有同花顺，根据顺子末端的点数为其编码，结束；否则继续。 如果$p4>0$则说明有四条，检查$p$数组，找出最大的单张牌，编码，结束。 如果$p3>15$或者($p3>0$且$p2>15$)则说明有葫芦，根据$p3$和$p2$的值为其编码，结束。 如果$c5> -1$则说明有同花，根据$mark[14][c5]$到$mark[2][c5]$为其编码，结束。 依次检查$pts[14]$到$pts[1]$，一旦有连续$5$个点数的个数大于$0$，则说明有顺子。根据顺子末端的点数为其编码，结束。 如果$p3>0$则说明有三条，检查$p$数组，找出两个最大的单张，编码，结束。 如果$p2>15$则说明有两对，根据$p2$的值和$p$数组，编码，结束。 如果$p2>0$则说明有对子，根据$p2$的值和$p$数组，编码，结束。 找出$5$个最大的单张，编码，结束。 不知道上述流程是否严密。 如有疏漏或不正确的地方，请指正。

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分析了所有对子和$10$以上的单张，结果如下：

1. pt c pt c win lose draw
2. 14 0 14 1: 1767157282 306046758 24368360
3. 13 0 13 1: 1709675710 363500874 24395816
4. 12 0 12 1: 1658267316 413873816 25431268
5. 11 0 11 1: 1608413414 463039368 26119618
6. 10 0 10 1: 1558308030 511370014 27894356
7. 9 0 9 1: 1499323720 568961236 29287444
8. 8 0 8 1: 1441768314 624197028 31607058
9. 7 0 7 1: 1386393872 678327976 32850552
10. 6 0 6 1: 1329379928 732647636 35544836
11. 5 0 5 1: 1272777818 785931546 38863036
12. 4 0 4 1: 1209118142 846575230 41879028
13. 3 0 3 1: 1146703018 906828052 44041330
14. 2 0 2 1: 1082650606 967593762 47328032
15. 14 0 13 0: 1331920695 723152301 42499404
16. 14 0 13 1: 1292337853 761510248 43724299
17. 14 0 12 0: 1315525264 738351324 43695812
18. 14 0 12 1: 1274853304 777745425 44973671
19. 13 0 12 0: 1296084489 741397665 60090246
20. 13 0 12 1: 1254240506 781201457 62130437
21. 14 0 11 0: 1298350683 752719319 46502398
22. 14 0 11 1: 1256518491 793091064 47962845
23. 13 0 11 0: 1278645197 756153947 62773256
24. 13 0 11 1: 1235608060 796974365 64989975
25. 12 0 11 0: 1237785157 796400815 63386428
26. 12 0 11 1: 1192563025 839425016 65584359
27. 14 0 10 0: 1280946285 766356759 50269356
28. 14 0 10 1: 1237925999 807647178 51999223
29. 13 0 10 0: 1261705545 769729925 66136930
30. 13 0 10 1: 1217494041 811485143 68593216
31. 12 0 10 0: 1220601812 810271048 66699540
32. 12 0 10 1: 1174180425 854258945 69133030
33. 11 0 10 0: 1185956322 844437553 67178525
34. 11 0 10 1: 1137736368 890259434 69576598

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这个结果与百度百科中 http://bk.baidu.com/view/947708.htm 只玩$10$手牌： $A A$，$KK$，$AK$，$Q Q$，$JJ$，$T T$，$99$，$88$，$AQ$，$77$ 的说法基本一致。 不同之处是$AK$和$AQ$应排到$77$后面，$66$的先验胜率反而比$AQ$大。 不知道程序是否有误，因为google上面没有这样的分析数据。

wayne

将7张牌做tally运算：即统计点数出现的频率，排序， 然后根据牌型的大小，由大到小依次做真假判定。如果一方是真，一方是假，判定结束。