谁能说说代数中的理想是个什么东东

wsc810

如题，叙述越详细越好。

qianyb

知识有限，不理解题目是什么意思

KeyTo9_Fans

参见维基百科中“环的理想”：

http://zh.wikipedia.org/wiki/%E7 ... 4.E7.90.86.E6.83.B3

或者看《近世代数》课件的第三章第三节：

http://www.fjtu.com.cn/fjnu/cour ... lesson/char4/j3.htm

还有百度百科中“偏序集的理想”：

http://baike.baidu.com/view/15579.htm#10

ftg1029

非交换环R的一个子集N满足：（1）N是R的加法群的一个子群；（2）对R中任何元素x和N中任何元素n，积xn（注意x左n右）恒属于N，则称N是R的一个左理想。相仿地可定义右理想。若N既是R的左理想又是R的右理想，则称N为R的理想。
    若R是交换环，则理想不分左右。

hujunhua

一般来说，能够提出这个疑问的人，是不能理会这样的答复的。

举一个最简单的、其中唯一分解不成立的环，比如Z[Sqrt(-5)]，来说明为什么要引入理想这个东东是最容易让有此一问的入门的。

zgg___

hujunhua说的有道理，呵呵。那我就来简单的说说吧，但愿能说的对。或许事情是这样子滴……
对于整数，每一个数可以唯一分解因子。这个是算数基本定理（能叫“基本”一定是不俗的，呵呵。就是说在乘法下，质数是基石的呢。注明，括号里的话，不懂可以无视。）
可以看到上面的思想只限于有理数中，后来想把这种思想引伸到代数数中。于是先分清了那些是代数数中的“整数”（它们的集合就是上面提到的环的一种情况。），之后发现在新的体系中，对应的“算数基本定理”有时候不成立的呢。那就打补丁吧。于是提出了“理想因子”的概念，这下“算数基本定理”成立了，但是数的范围扩大了。（要么引入更高次扩张的代数数，要么要用多个代数数表示。）我们如何表示这些叫理想因子的新数呢？回到从前，我们可以用{3,6,9,12……}来表示3，用{5,10,15,……}来表示5，那么15就可以用3和5的交集来表示了。虽然集合的操作是更加基本的，但是这种表示方法在“算数基本定理”成立的时候，好比是“脱了裤子放那个”，所以小学老师也就没有建议这么表示，呵呵。而在“算数基本定理”不成立的时候，就更有用了，就是说有时候：当z既等于x1乘y1，又等于x2乘y2，还等于……的时候（不唯一），也就是说z的倍数集合不能唯一的表示成一些其他不可约数的倍数的集合的交集时候，我们还是可以把z的倍数集合唯一的表示成某些假想的数的倍数的集合的交集（这些假想的数是存在的只是不在这个代数数域中，我憋气了，快让我呼吸一下），这些数就是所谓理想因子，而它们的倍数的集合就是传说中理想了。

qianyb

越看越糊涂啊，呵呵