三道牛题，有两道至今无人能解，你试试!

silitex

似乎这个题目很火爆，但我没有思路，希望有达人能解答我的思路，呵呵。
原版地址：http://topic.csdn.net/u/20100329 ... b-9833e6af3244.html
谢谢！

题目是这样的：
1.圆周率是3.1415926535897932...... 它是否会在某一位开始连续出现了20个7，谁能用电脑计算一下？
如是否存在可能出现 3.1415926535897932......77777777777777777777......

2.一个半径为r的圆,你随便在里面画一条弦，弦长大于根号3倍r 的概率有多大？

3.三维空间的一个乒乓球，它周围能容纳的两两相接的同样的乒乓球有多少个？证明你的结论？

silitex

我感觉的答案是：
第一题：有可能出现，因为是无理数，那么数据是随机的，无论如何，总会出现20个7
第二题：1/4
第三题：好像是15。

mathe

第二题挺常规的，只是定义有点为题，这个随便要看你如何定义。
至于第一题，现在的计算能力能够找出的可能性很小，按概率来说，平均要计算出$10^20$位左右。
而第三题是一个数学难题

风云剑

第三题意思不明确啊，“周围”指的什么？还要两两相接？

风云剑

第一题同样无法证明，无理数并不能推出数据随机的结论。

zgg___

第三道题是说：在一个球O周围放一些球，这些新放的球必须和原先的球O挨着，（所以提到的球都一样大，）问最多能放多少个新球？如果要的是严格的证明，这个的确是一个难题。
第一题现在也应该没有严格证明的。
第二题说的不清楚。要指明怎么个“随便”法，比如所在圆弧上任取两点，然后连线；或者是圆内随机取一点，然后随机取一个角度。。。不同的“随便”法，结果是不同的。

wayne

第一题：
如果计算Pi到 368,299,898,266位时，就会出现12个连续的7，参考源：http://www.super-computing.org/pi-decimal_current.html

猜想：要想得到20个连续的7，至少也得把Pi算到“20位数”那个位数吧？

第二题：

有的人这么做，先固定弦的一点，然后计算弦的另一点在圆弧的可能位置，容易得到概率是1/3
也有这么做，判断弦的中点的位置，也容易得到，概率是1/4

囧。。。。。。。。。。。。。。。。。。。。

第三题，好难啊~~，不知利用 球面角的概念能否解决问题。。。

hujunhua

围着一个球，可以放几个同样大小的球？
我们不妨假定球的半径为一，即单位球。如果把单位球绕单位球相切，不难证明，12个球是放得进的。这时虽然还剩下许多空间，但不可能放进第13个球。要证明这一结论并不容易。当年Newton与Gregory有个讨论。Newton 说第13个球装不进，Gregory说也许可以。这个争论长期悬而未决。一直到1953年，K.Schutte和B.L.van der Waerden（就是前两天说的那个范.德.瓦尔登）才给了一个证明。据说这个证明是很复杂的。

我以前曾试过，只证明到不超13球。

mathe

问题三下面链接里面也讨论过
http://bbs.emath.ac.cn/viewthrea ... fromuid=20#pid13464

本因坊算帐

想了一下，第三题的答案应该在 12~14 之内，我猜想就是12

下界证明：
12个球的构造就是，7个球放在平面上，外面6个成正六边形，然后上下可以再各放3个球，都和中心的球相切

上界证明：
设每个球的半径为1/2，并设有若干个球都和中心球相切，并且任何两球都无公共内点（相切或相离）
以中心球心为球心，1为半径，做大球，显然除中心球外，每个球的球心都在大球上，并且每个球和大球交出一块圆球面，这些圆球面之间两两无公共内点
容易计算，每块圆球面的面积为：$(2-sqrt(3))pi$，而大球表面积为$4pi$。前者的15倍大于后者，因此可知，符合条件的球最多只有14个

上面每个小球对应的圆球面的计算，实际上做了很大的放缩。更精确的应该是，将大圆上每一点，按照球面距离，“隶属”于某个小球。这样，每个小球都有一份自己的“领地”，这个领地应该比上述的圆球面更大一些。采取合适的估计，也许可以证明13个球是放不出来的