圆周率

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一般的计算方法 1. Machin公式（马青公式） $ pi=16arctan (1/5)-4arctan (1/239)$ 这个公式由英国天文学教授John Machin约翰·马青于1706年发现。他利用这个公式计算到了100位的圆周率。马青公式每计算一项可以得到1.4位的十进制精度。因为它的计算过程中被乘数和被除数都不大于长整数，所以可以很容易地在计算机上编程实现。 　　还有很多类似于马青公式的反正切公式。在所有这些公式中，马青公式似乎是最快的了。虽然如此，如果要计算更多的位数，比如几千万位，马青公式就力不从心了。下面介绍的算法，在PC机上计算大约一天时间，就可以得到圆周率的过亿位的精度。这些算法用程序实现起来比较复杂。因为计算过程中涉及两个大数的乘除运算，要用FFT（Fast Fourier Transform）算法。FFT可以将两个大数的乘除运算时间由O（n2）缩短为O（nlog（n））。 关于FFT算法的具体实现和源程序，请参考Xavier Gourdon的主页 2. Ramanujan公式（拉马努金公式） $\pi=\frac{9801}{2\sqrt2\sum_{n=0}^\infty\frac{(4n)!}{4^{4n}(n!)^4}\frac{(1103+26390n)}{99^{4n}}}$ 　　1914年，印度数学家Ramanujan拉马努金在他的论文里发表了一系列共14条圆周率的计算公式。这个公式每计算一项可以得到8位的十进制精度。1985年Gosper用这个公式计算到了圆周率的17,500,000位。 　　1989年，大卫·丘德诺夫斯基和格雷高里·丘德诺夫斯基兄弟将拉马努金公式改良，这个公式被称为丘德诺夫斯基公式，每计算一项可以得到15位的十进制精度。1994年丘德诺夫斯基兄弟利用这个公式计算到了4,044,000,000位。丘德诺夫斯基公式的另一个更方便于计算机编程的形式是： $\pi=\frac{426880\sqrt{10005}}{\sum_{n=0}^\infty\frac{(6n)!(545140134n+13591409)}{(n!)^3(3n)!(-640320)^{3n}}}$ 3. AGM（Arithmetic-Geometric Mean）算法 　　Gauss-Legendre高斯-勒让德公式： 初值： $a=x=1,b=\frac{1}{\sqrt2},c=\frac{1}{4}$ 重复计算： $y=a,a=\frac{a+b}{2},b=\sqrt{by},c=c-x(a-y)^2,x=2x$ 最后计算： $\pi=\frac{(a+b){}^2}{4c}$ 　　这个公式每迭代一次将得到双倍的十进制精度，比如要计算100万位，迭代20次就够了。1999年9月，日本的高桥大介和金田康正用这个算法计算到了圆周率的206,158,430,000位，创出新的世界纪录。 4. Borwein波尔文四次迭代式： 　　这个公式由Jonathan Borwein乔纳森·波尔文和Peter Borwein彼得·波尔文于1985年发表，它四次收敛于圆周率。 $a_0=6-4\sqrt2,y_0=\sqrt2-1$ 重复计算： $y_{n+1}=\frac{1-(1-y_n^4)^{\frac{1}{4}}}{1+(1-y_n^4)^{\frac{1}{4}}}$ $a_{n+1}=a_n(1+y_{n+1})^4-2^{2n+3}y_{n+1}(1+y_{n+1}+y_{n+1}^2)$ 最后计算： $\pi=\frac{1}{a_n}$ 5. Bailey-Borwein-Plouffe算法 $\pi=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{16^n}(\frac{4}{8n+1}-\frac{2}{8n+4}-\frac{1}{8n+5}-\frac{1}{8n+6})$ 这个公式简称BBP公式，由David Bailey, Peter Borwein和Simon Plouffe于1995年共同发表。它打破了传统的圆周率的算法，可以计算圆周率的任意第n位，而不用计算前面的n-1位。这为圆周率的分布式计算提供了可行性。1997年，Fabrice Bellard找到了一个比BBP快40％的公式： $\pi=\frac{1}{64}\sum_{n=0}^\infty\frac{-1}{1024^n}(-\frac{32}{4n+1}-\frac{1}{4n+3}+\frac{256}{10n+1}-\frac{64}{10n+3}-\frac{4}{10n+5}-\frac{4}{10n+7}-\frac{4}{10n+9})$

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时间　　　纪录创造者　小数点后位数 所用方法 前2000 古埃及人 0 前1200　 中国 0 前500 《圣经》　　 0 （周三径一） 前250　 　阿基米德　　　 3 263 　 　　 刘徽　　　　　 5 古典割圆术 480 祖冲之 7 1429 Al-Kashi 14 1593 Romanus 15 1596 鲁道夫 20 古典割圆术 1609 鲁道夫 35 1699 夏普 71 夏普无穷级数 1706 马青 100 马青公式 1719 （法）德·拉尼 127（112位正确）夏普无穷级数 1794（奥地利）乔治·威加 140 欧拉公式 1824 （英）威廉·卢瑟福 208（152位正确）勒让德公式 1844 Strassnitzky & Dase 200 1847 Clausen 248 1853 Lehmann 261 1853 Rutherford 440 1874 威廉·山克斯 707(527位正确) 20世纪后 年 月 纪录创造者 所用机器 小数点后位数 1946 （英）弗格森 　　　　　　 　　　　　　　　　620 1947 1 （英）弗格森 　　　 　　　　　　　　　　　710 1947 9 Ferguson & Wrench 　　　　　 　　　　　　808 1949 Smith & Wrench 　　　　　　　　　 　　　1,120 1949 Reitwiesner et al　　　　　　ENIAC 2,037 1954 Nicholson & Jeenel　　　　　NORC　　　　3,092 1957 Felton Pegasus 7,480 1958 1 Genuys IBM704 　 10,000 1958 5 Felton Pegasus 10,021 1959 Guilloud IBM 704 16,167 1961 Shanks & Wrench IBM 7090 100,265 1966 Guilloud & Filliatre IBM 7030 250,000 1967 Guilloud & Dichampt CDC 6600 500,000 1973 Guilloud & Bouyer CDC 7600 1,001,250 1981 Miyoshi & Kanada FACOM M-200 2,000,036 1982 Guilloud 2,000,050 1982 Tamura MELCOM 900II 2,097,144 1982 Tamura & Kanada HITACHI M-280H 4,194,288 1982 Tamura & Kanada HITACHI M-280H 8,388,576 1983 Kanada, Yoshino & Tamura HITACHI M-280H 16,777,206 1985 10 Gosper Symbolics 3670 17,526,200 1986 1 Bailey CRAY-2 29,360,111 1986 9 Kanada & Tamura HITACHI S-810/20 33,554,414 1986 10 Kanada & Tamura HITACHI S-810/20 67,108,839 1987 1 Kanada, Tamura & Kubo et al NEC SX-2 134,217,700 1988 1 Kanada & Tamura HITACHI S-820/80 201,326,551 1989 5 Chudnovskys CRAY-2 & IBM-3090/VF 480,000,000 1989 6 Chudnovskys IBM 3090 525,229,270 1989 7 Kanada & Tamura HITACHI S-820/80 536,870,898 1989 8 Chudnovskys IBM 3090 1,011,196,691 1989 11 Kanada & Tamura HITACHI S-820/80 1,073,741,799 1991 8 Chudnovskys 2,260,000,000 1994 5 Chudnovskys 4,044,000,000 1995 8 Takahashi & Kanada HITACHI S-3800/480 4,294,967,286 1995 10 Takahashi & Kanada 6,442,450,938 1997 7 Takahashi & Kanada 51,539,600,000 1999 4 Takahashi & Kanada 68,719,470,000 1999 9 Takahashi & Kanada HITACHI SR8000 206,158,430,000 2002 Takahashi Team 1,241,100,000,000

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Mathtype->Tex转换效果太差了！！ 2楼罗列的表格也无法正常～5～～～～ 一般我都是用PiFast算着玩的呵呵，大家也可以下下来玩玩 此外，写一下Mathtype->Tex转换的经验 1.Preference->Translators->Tex -- LaTeX2.09 and later后面两个都不要 2.转换后复制转换后的文本到剪贴板，去除开头的\[和结束的\] 3.使用查找替换，去除所有的空格 4.查找"\sum\limits_"替换成"\sum_" 5.可以看了，但是还有很多冗余的括号，这些只能自己去了 终于全部改完了，手动修改公式真是累死了，总共修改了不少于40次，5～～～终于完成了！！！！

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1、新世界纪录 　　圆周率的最新计算纪录由日本人金田康正的队伍所创造。他们于2002年算出π值1,241,100,000,000 位小数，这一结果打破了他们于1999年9月18日创造的206,000,000,000位小数的世界纪录。 2、个人计算圆周率的世界纪录 　　在一个现场解说验证活动中，一名59岁日本老人Akira Haraguchi将圆周率π算到了小数点后的83431位，这名孜孜不倦的59岁老人向观众讲解了长达13个小时，最终获得认同。这一纪录已经被收入了Guinness世界大全中。据报道，此前的纪录是由一名日本学生于1995年计算出的，当时的精度是小数点后的42000位。

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微机WindowsXP中Dev-cpp中的运算程序（30000位）（C++） #include < cstdlib.h > #include < iostream.h > #include < fstream.h > #define N 30010 using namespace std; void mult (int *a,int b,int *s) { for (int i=N,c=0;i>=0;i--) { int y=(*(a+i))*b+c; c=y/10; *(s+i)=y%10; } } void divi (int *a,int b,int *s) { for (int i=0,c=0;i<=N;i++) { int y=(*(a+i))+c*10; c=y%b; *(s+i)=y/b; } } void incr(int *a,int *b,int *s) { for (int i=N,c=0;i>=0;i--) { int y=(*(a+i))+(*(b+i))+c; c=y/10; *(s+i)=y%10; } } bool eqs(int *a,int *b) { int i=0; while (((*(a+i))==(*(b+i)))&&(i<=N)) i++; return i>N; } int main(int argc, char *argv[]) { int lpi[N+1],lls[N+1],lsl[N+1],lp[N+1]; int *pi=lpi,*ls=lls,*sl=lsl,*p=lp; for (int i=0;i<=N;i++)*(pi+i)=*(ls+i)=*(sl+i)=*(p+i)=0; memset(pi,0,sizeof(pi)); memset(ls,0,sizeof(ls)); memset(sl,0,sizeof(sl)); memset(p,0,sizeof(p)); *pi=*ls=*sl=1; for (int i=1;true;i++) { mult(ls,i,sl); divi(sl,2*i+1,ls); incr(pi,ls,p); if (eqs(pi,p)) break; int *t; t=p; p=pi; pi=t; if (i%50==0) cout << i << " "; } cout << endl; mult(p,2,pi); ofstream fout("pi.txt"); fout << *pi << "."; for (int i=1;i<=N;i++) { fout << *(pi+i); if (i%10==0) fout << " "; if (i%80==0) fout << endl; } return EXIT_SUCCESS; } 注：①运行时会有数据弹出，那是无关紧要的，只为了加快了感觉速度； ②最后的txt文本里有30010位，其中最后10位可能是错的。 ③程序中的<，>是大写的请改成小写。

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原帖由 kenmark 于 2008-3-9 15:57 发表 Mathtype->Tex转换效果太差了！！ 2楼罗列的表格也无法正常～5～～～～ 一般我都是用PiFast算着玩的呵呵，大家也可以下下来玩玩 此外，写一下Mathtype->Tex转换的经验 1.Preference->Translators->Tex -- LaTeX2 ...

MathType->TeX 转换效果确实不理想，尤其是多了许多不必要的括号。 表格输入是支持的，发帖时切换输入模式到“所见即所得模式”，点击"添加表格"按钮。但排版好也不算容易。

nyy

现在的世界纪录，都是用Chudnovsky公式

lihpb00

我只会最简单的反三角函数泰勒级数展开式