逆序倍数

mathe · 发表于 2010-4-3 20:35:19

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http://tieba.baidu.com/f?kz=740190405
求所有的自然数K具有如下性质：若n被K整除，那么由n的数字按相反次序写成的数也能被K整除

wayne · 发表于 2010-4-3 21:31:50

任意能被 K整除的数n，其逆序排列的数也能被K整除，问题：找出所有这样的K。

是这样理解的吗

wayne · 发表于 2010-4-3 21:39:11

如果这样理解，
即对于任意N位数的n，上述成立，那么K一定是

$10^N-1, 10^{N-1}-10,10^{N-2}-10^2,10^{N-3}-10^3,...... $的公约数

不管N是奇还是偶，上面的序列存在公因子9，
所以K=3,9

BC_souhait · 发表于 2010-4-3 23:46:23

3# wayne

这样应该不全吧。至少还有11（1肯定行的了）。因为一个数是否能被11整除可以根据这个数的偶数位的和与奇数位和的差是否能被11整除来判定。将这个数的所有位逆序不改变奇数位和偶数位差的绝对值，所以11也是一个。这样因为3和9是，且（3，11）=1，（9，11） = 1 ，因此33和99也是

mathe · 发表于 2010-4-4 09:46:03

答案是K|99,当然我们还需要能够证明它

wayne · 发表于 2010-4-4 10:42:19

设n为N+1位数，那么原命题等价于

$\sum_{i=0}^{N}(10^{N-i}-10^i)*a_i=0(mod K)$

第一种情况：a_i独立不相关，对于每个i，10^N-i-10ⁱ=0(mod K)。此时，K是9的约数，即1,3,9
第二种情况：a_i之间存在相关性，即系数不全为K的倍数，这时，可以反客为主，让a_i作为系数，合并同类项可提取出因子10²-1，即K可以是 1,3,9,11
n只能选择K的倍数，不是可以任意选择的。

wayne · 发表于 2010-4-4 11:05:50

其实没必要分情况讨论

$\sum_{i=0}^{"floor"(N/2)}(a_{N-i}-a_i)(10^{N-i}-10^i)=0(mod K)$

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