尺规作图

szsdk · 发表于 2010-4-4 13:55:54

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已知一个三角形的外接圆及其内切圆圆心，求做这个三角形

mathe · 发表于 2010-4-4 17:26:23

只知道两个圆心应该条件不够的，是不是还有其它条件？

szsdk · 发表于 2010-4-4 19:46:12

注意是外接圆，即知道圆心和半径，知道了外接圆圆心和半径圆心、半径和内切圆圆心位置就可以算出内切圆半径。不过然后我就不知道了

只是呼吸 · 发表于 2010-4-4 22:13:17

不行的。好像差条件。

只是呼吸 · 发表于 2010-4-4 22:35:13

不行的，做不了。尺规作图的条件是很苛刻的。

hujunhua · 发表于 2010-4-5 06:53:07

可以作的。约束不足，那就随便作一个好了。毕竟目标三角形还是有一定约束、并非完全自由的，任作一个也也是一个需要技巧的问题。作法：设外心为Q，内心为I。 1、在外接圆上任取一点A，作为三角形的第一个顶点。作射线AI交外接圆于D. 2、以D为圆心，以DI长为半径作圆弧，交外接圆于B、C两点。 3、连好线段得△ABC即为一个满足要求的三角形。捕获.GIF

作完后画了一下边的包络，发现内切圆是不变的。将点A滑到IO连线上，得到了内切圆半径公式 r=(R²-d²)/2R （R------外接圆半径，r------内切圆半径，d------圆心距）内切圆的不变性体现了目标三角形受到的良好约束。

szsdk · 发表于 2010-4-5 10:57:44

恩，谢谢

只是呼吸 · 发表于 2010-4-5 11:48:42

6# hujunhua 恩，作法看上去很简单的。只有高手才想得出。我是从三角形的边长去想了

hujunhua · 发表于 2010-4-5 13:22:18

这题中暴露的三角形内切圆不变的现象不过冰山一角而已，藏着在海面下的身躯庞大着呢。海面下的部分有多大呢，请看两张快照：

　　1、不仅对于三角形，而且对于任意的双心多边形（Bicentric Polygon即有外接圆又有内切圆的凸多边形），给定外接圆和内心后，内接圆也随之而定。　　也就是说，楼主遇到的题，出成作四边形、五边形、六边形等都是可以的。当然，作图的答案就没三角形这么简单了。假设题目是作n边形的，如果作出了内接圆，那么在外接圆上任取一点为始端出发，作切于内切圆的弦，再以所得弦终端为始端向前依样作切弦，结果作出第n条切弦时回到出发点闭合，完成n边形作图（Poncelet's porism） 2、不仅对于圆，而且对任意非退化的二次曲线，结论也是成立的。什么意思呢？事情是这样的：如果一条二次曲线O的内接 n 边形外切于另一条二次曲线I，那么从O上任取一点出发，仿上述方法连续作切弦，也是作出第 n 条弦后闭合成一个“双心n边形”（打引号，因为这个名称已经不贴切了）。　　把1 中的叙述放到一个射影变换下就是2了。

数学星空 · 发表于 2010-4-5 14:27:51

楼上的有两点需要详细解释一下哟：（1）双心N边形存在的条件（2）如何证明假设题目是作n边形的，如果作出了内接圆，那么在外接圆上任取一点为始端出发，作切于内切圆的弦，再以所得弦终端为始端向前依样作切弦，结果作出第n条切弦时回到出发点闭合

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