将积分表示成无穷级数？

282842712474 · 发表于 2010-4-5 14:02:10

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$\int \frac{sinx}{x} dx$诸如这一类积分是没有初等函数形式的。但是我们仍然可以把结果表示成幂级数，方法有两种：1是使用泰勒级数展开，2是求出若干个点的值，然后构造一条插值多项式。由于对于较复杂的函数求导数很困难，于是不如方法2来得方便。于是问题就变成如何快速地用插值法求出一个函数的近似表达式？怎样才能够使算法效率最高呢？

另外对于$\int (x-a)(x-b)(x-c)...(x-m) dx$类型的积分，能够在不展开式子的前提是求出来吗

wayne · 发表于 2010-4-5 14:22:56

本帖最后由数学星空于 2010-4-5 15:27 编辑

微分是最好求的，其逆问题，即积分往往都比较难，甚至求不出来，如今，楼主又这样问，是值得考虑的

不过，就题论题，你的式子可以不用计算，根据韦达定理，很快就可以写出来：
$\sum _{i=0}^{n} \frac{(-1)^{i+1}s_{n-i}}{i+1}x^{i+1}+C$

其中，s_i表示所有可能的i个根乘积的和

282842712474 · 发表于 2010-4-5 15:59:32

本帖最后由 282842712474 于 2010-4-5 16:02 编辑

应该说几乎所有函数的微分都可以求出来，但是未必好求
例如求$\frac{root{5}{x^3-sin (x^2)}}{\sqrt{cosx-3x^6}}$的5阶导数，其中x=3。这肯定可以求出来，问题是那个表达式的复杂度.......我从导数定义去求或许还容易一点，只要$\Delta$取0.00.....01

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