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[讨论] a^2+ab+b^2与a^2-ab+b^2不可能同时为平方数

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发表于 2010-4-11 01:45:48 | 显示全部楼层 |阅读模式

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a2+ab+b2与a2-ab+b2不可能同时为平方数

最近 wayne 版主发过一个解a2-ab+b2=c2的帖子,郭大把式子改成了a2+ab+b2=c2
我解了一下这两个方程,观察数据发现a2+ab+b2与a2-ab+b2不可能同时为平方数。

从几何上说,就是一个内角为60度的平行四边形的四条边和两条对角线,这6条线段不可能都是整数。
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发表于 2010-4-12 08:12:03 | 显示全部楼层
我估计要使 a^2+ab+b^2 与 a^2-ab+b^2 同为完全平方数,
则 a、b 中至少有一个为零。可能需要无穷递降法解决。
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发表于 2010-4-12 08:31:51 | 显示全部楼层
我猜楼主的结论正确的,两者不能同时成立
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发表于 2010-4-14 11:24:37 | 显示全部楼层
不知道是否可以证明
$a^4+a^2b^2+b^4=c^2$无非平凡解,如果这个结论成立,自然本题无平凡解
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 楼主| 发表于 2010-4-14 11:58:52 | 显示全部楼层
mathe说在点子上了,还是那句话:“乘比线性组合好”。
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发表于 2010-4-14 16:47:00 | 显示全部楼层
不过高次丢番图方程通常也不好处理。4#的方程有现成的结论吗?
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发表于 2010-4-14 21:40:39 | 显示全部楼层
不过高次丢番图方程通常也不好处理。4#的方程有现成的结论吗?
mathe 发表于 2010-4-14 16:47

曹珍富的《丢番图方程引论》里面有一个例子, 用无穷递降法法证明了,不存在非平凡解
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发表于 2010-4-14 21:52:46 | 显示全部楼层
看来还是要借用通解公式

如果0<u^2-v^2<2uv+v^2,
下面的方程组无正整数解
{u^2-v^2=2xy+y^2,2uv+v^2=2xy+x^2}


如果u^2-v^2>2uv+v^2,
下面的方程组也无正整数解
{2uv+v^2=x^2-y^2,u^2-v^2=2xy+x^2}
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 楼主| 发表于 2010-4-14 22:30:43 | 显示全部楼层
4#的方程,在四次型里是比较基本的了,当有现成的结论。重新翻了一下曹富珍的《丢番图方程引论》,第七章第5节的标题赫然就是“x4+kx2y2+y4=z2”,其中给出了一个表,说明0<k<100 时,恰有k∈{1, 3~6, 9~11, 15, 18~22, 25, 28~30, 32, 35, 37, 39, 40, 43, 45, 46, 50, 51, 53, 54,  58, 59, 65, 69, 70, 72, 74~76,  80~82, 88, 91, 93, 97}时,方程无解。

我前天自己也搞了一个无穷递降法的证明(用的通解公式是mathe的那个公式(有修改),不是从Z(ω)得来的那个),发出来的话码公式要码惨了,就免了吧。等找到现成的证明了,再转发上来。
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 楼主| 发表于 2010-4-15 12:01:48 | 显示全部楼层
就在曹富珍的《丢番图方程引论》上,找到了k=1的无穷递降证法,在第二章第3节。昨天翻书看目录,见到第七章第5节的标题太正点了,直奔过去没往前翻。
不过这个PDF版的不太清晰,转发过来效果不一定行。

也找到了k=-1时的无穷递降证法,但跟我的证法差别就远了。比我的简明。我是连带证明了不存在四个等差平方数。
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