找数字规律

qianyb

有此如下数字序列：
1,3,4,7,8,10,11,15,16,18,19,22,23,25,26,31,32,34,35,38,39,41,42,46,47...
请列出省略号的数字，并说明规律

medie2005

49....

qianyb

可以告诉怎么计算出来的吗，有没有公式

medie2005

a[1]=1;
a[n]=a[n/2]+n

qianyb

这个规律不怎么好用，如果项数比较多时，还要一项项都计算出来，时间太长了。能不能直接计算出第n项的值呢

medie2005

将n写成2进制形式$b_{0}b_{1}...b_{k}$，
连续展开a[n]=a[n/2]+n
观察可得：
a[n]=$\sum_{i=0}^{k}{n/{2^{i}}}$

KeyTo9_Fans

相邻两数作差，得

1,2,1,3,1,2,1,4,1,2,1,3,1,2,1,5,1,2,1,3,1,2,1,4,1,2,1,3,1,2,1,6,1,2,1,3,1,2,1,4,......

可以看出：

$1$是每$2$项一个；
$2$是每$4$项一个；
$3$是每$8$项一个；
...
$k$是每$2^k$项一个。

上述数列可以由以下一系列数列对应项相加得到：

1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,1,......
0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,0,1,......
0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,0,0,0,1,......
0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,0,0,0,0,0,0,0,1,......
......

这就解释了为什么会有楼上观察到的结果。

gxqcn

一般数列通项公式是多项式的，
计算相邻两数之差得到新的数列，
新数列的通项公式仍为多项式，但次数降1，
连续采用上法，最终可得到一常数数列。
然后逐级反推，可得到原数列的通项公式。

对于非多项式通项公式的数列，
也可以通过差分法寻找规律。