关于复数的问题

zYr

数学学到复数了
遇到点小麻烦：
1.$e^(ix)=cosx+isinx$
2.$e^(iπ)+1=0$
这两个叫欧拉公式吧
怎么证明？
有什么意义（几何意义、物理意义）？$f(x)=e^(ix)$这个函数能画出图像来吗？

风云剑

图像貌似不好画哦。
物理意义大概要学了电磁学才能理解吧。都忘记咯。

BC_souhait

可以用函数的幂级数展开来证明。另外我也找到一个用微积分的证明，链接：http://www.mathlesstraveled.com/?p=63

至于这个图像，应该是个单位圆。

wayne

复数是纯数学的东西
至于其数学意义，物理意义，需要人去赋予，这个可以仁者见仁智者见智的

其证明方法我见过的就有很多种

wikipedia也给了三种方法

wayne

根据楼主的知识背景，有一种方法相信能接受：
因为e^ix*e^-ix=1
所以e^ix不为0，所以可以定义函数
$f(x)=\frac{cosx+isinx}{e^{ix}}$
然后对它求导，发现导函数为0
所以f(x)是常函数，所以f(x)=1

hujunhua

刚学复数的中学生，要证明关于复数的欧拉公式，应该是超纲的。只能从特征方程来理解
记g(x)=cosx+isinx，运用三角函数的加法定理，易得 g(x+y)=g(x)g(y)，而这正是指数函数的特征方程.
从两者具有相同的特征方程，初步认识等式的合理性。至于证明，以后再说吧。

至于函数图像，x取实数，可取自一根数轴，而g(x)是复数，必须映射到一个复平面，所以图像必是空间曲线。从复平面g的原点竖一根垂直于平面的x 轴，可得一条空间螺旋线g(x)。

gxqcn

hujunhua  讲得比较合理，让一个中学生更易接受。

3# BC_souhait 的“单位圆”应该是在极坐标下吧？

wayne

或者
根据棣莫弗公式与指数函数的性质的相似性来理解也行

zYr

谢谢各位了
我还有个问题
传说中的泰勒展开式$f(x)=sum_{n=0}^{infty}1/(n!)f^((n))(x_0)(x-x_0)^n$是怎么得到的？

zYr

或者解释一下上式$x_0=0$时的麦克劳林展开式$f(x)=sum_{n=0}^{infty}1/(n!)f^((n))(0)x^n$也行