扔骰子问题--构造相同和的问题

mathe

假设现在有K个空袋子和无限多的球.
现在每次我们可以投一次骰子,然后根据骰子的结果数目在某一个袋子中装入此数目的球.
我们的目的是是所有的袋子装入相同数目的球.请问如何才能够让投掷骰子总次数最少.

本因坊算帐

题目没完全看明白……  筛子的结果是不能控制的？这样有可能永远都达不到每个袋子球一样的要求。 那么，是不是题目问的是，用何种策略，可以使达到要求所用的 期望回合数 最少？

mathe

是要求期望回合数目最小，或期望的球的总数目最小都可以。

本因坊算帐

K=2的情形，似乎已经不简单了

假设袋子球差为n的时候，在最佳策略下，使得两袋球数相同的期望次数为 An

猜想1： max（A1，A2，……，A6） 小于 min（A7，……）
这个直观上挺明显的，不过需要严格证明

如果猜想1成立的话，就可以建立方程：

A1 = 1 + ( min(A1,A3) + min(A2,A4) + min(A3,A5) + min(A4,A6) + A5 )/6
等等

其中 min(A1,A3)一项的意思是，当球差为1的时候，如果刚好摸出两个球，是放在多的一袋还是少的一袋，要看A1和A3哪个更小来决定

当K增大时，也能相应列出方程，不过就复杂的多了…… 不知道能不能找到明显的规律

mathe

数值计算表明,K=2的时候结果还是挺简单的(不过没有找到好的证明方法).
在K=2时,$A_1=A_2=...=A_6=6$,而且数列$A_n$单调不增.
于是我们得到
$A_n=n/3.5+4.761904761904761904761904762+b_1*w_1^n+b_2*w_2^n+b_3*w_3^n+b_4*w_4^n+b_5*w_5^n$
其中
$b_1=0.6319012753085731685787466358,w_1=-0.6703320476030968277431864271$
$b_2=\bar{b_3}=0.3762611957213027316658793320+0.5254514707986030044959343986i$
$w_2=\bar{w_3}= -0.3756951992252599246917106237-0.5701751610114122637547488250i$
$b_4=\bar{b_5}=-0.2160213571851131254790621738+ 0.6739374637067759751309615764i$
$w_4=\bar{w_5}=0.2941945563601416718966371706- 0.6683670974433010647829192061i$

gxqcn

不知这题与几天前的 用水晶来搭建一座双塔 是否有关联？

本因坊算帐

当 K=2 的时候，有递推关系：

A1 = A2 = …… = A6 = 6

从A7开始，每个An等于其前六项的平均值再加1

用这个公式，求出通项，应该就是mathe 的结果了