最节省长度的函数

mathe

转自: http://tieba.baidu.com/f?z=76523 ... A%FD%D1%A7&pn=0
某连续函数F(0)=F(1)=0，且它在(0,1)上和X轴围成的面积是1.求F(X)在该区间上弧长的最小值。

hujunhua

不存在这样的连续函数F(x)。 最小弧长的下极限为2+π/4,  且不可达。且称mathe的提问为QA,  考虑问题QB:

定义在[0, 1]上的连续函数f(x)≥0, 且$\int_0^1f(x)dx=1$, 求$\int_0^1sqrt{1+f'^2(x)}dx+f(0)+f(1)$的最小值。
QB的答案为2+π/4,  f(x)是跨在[0, 1]上是一个半圆拱,  拱的两脚高度f(0)=f(1)=1-π/8.

显然，QB的答案是QA的答案的下限. 在(0, 1)上F(x)要无限趋近f(x),  但要保持F(x)连续和f(0)=f(1)=0, F(x)是永远不可能取到f(x)的。

wayne

我也算了，如果不考虑两端点的值的话，最优的曲线方程是  x^2+(y-a)^2=b^2

而这个，加入端点给的条件，无解

wayne

或者这样表达：

定义在[0, 1]上的连续函数f(x)≥0, 且$\int_0^1f(x)dx=1$, 求$\int_{0_-}^{1^+}sqrt{1+f'^2(x)}dx$的最小值

mathe

上面的讨论是从变分法角度来考虑的。而我希望能够用初等的方法来解决。
对于hujunhua 的QB问题，我们还可以扩展为一个QC问题:
求平面上一个简单区域，这个区域必须在x轴上方而且在直线x=0和x=1之间,而且x轴上线段$0<=x<=1$必须是区域的一部分边界，要求区域面积正好是1，请问在这个条件下，区域的周长最小是多少。
显然，所有QA和AB的情况变成QC中一个特殊情况，而区域的周长对应QA和QB中问题的长度再加1.

mathe

对于QC问题，首先我们可以容易得出这个简单区域必须是凸的才能够让边长取到最小值。由此可以马上得出QC问题的最小值会落在QB问题上，而且对应的函数f(x)必须是凹函数，也就是说对于任意0<x<y<1,0<t<1
$tf(x)+(1-t)f(y)<=f(tx+(1-t)y)$
现在我们证明对于最有的解,f(x)的最大值不可以在边界上。这个反证就可以。
假设最大值在边界上，不凡设f(0)取到最大值，那么利用凹函数的性质马上得到f(x)是减函数:
$f(y)<=tf(0)+(1-t)f(y)<=f((1-t)y)$
我们可以取0周围一个充分小的区间[0,e],我们考虑将函数f(x)在这段区间对称翻转一下，
当然变换以后f在x=e不连续，这时这个部分用一条垂直的直线连接起来，我们可以得到另外一个QC中情况，总边长和面积都不变，但是不是凸的，同最优区域必须是凸的矛盾。
现在我们知道对于最优情况f(x)的最大值必然不在边界上，我们对于f(x)取最大值的点$x_0$,必然存在某个充分小的邻域$[x_0-e,x_0+e]$使得f(x)在这个区间是一段圆弧。证明很简单，只要利用等面积的所有封闭图形中圆的周长最小这个结论就可以了。也就是这要图像不是圆弧，我们可以采用一个圆弧替换，使得等面积但是长度变小。唯一的问题是变换后图像可能不再是函数了，但是只要e充分小，我们可以保证这个圆弧都在范围[0,1]之内，所以还是QC的问题，于是我们可以得到矛盾。
然后我们可以对于最优结果，找到最大的区间$[x_0-e,x_0+e]$使得函数f(x)是圆弧：
非常容易证明，对于最大的区间，必然有:
$x_0-e=0$或$x_0+e=1$
如果不是上面情况，我们可以很容易通过将区间扩张充分小，在将这个充分小的区间中的函数用圆弧替换，由于扩张的区间充分小，得到的结果图像还会是QC的图像而且结果更优，得到矛盾。
同样，如果上面两个边界只有一边达到，我们同样可以通过将区间向另外一侧稍微扩充，得出一个矛盾的图像。
于是我们得出，对于最优的情况，整个函数f(x)是一个圆弧。
现在我们再证明，对于QB，如果f(x)是一条圆弧但是不是半圆，而f(0)=f(1)>0,那么这个还不是最优的。
方法同样很简单，我们做另外一个函数g(x)它同样是圆弧，0<g(0)=g(1)<f(0),它们围出的面积相同，而且g(0)和f(0)相差充分小，那么我们可以得出g(x)比f(x)更优。
于是我们知道对于这个问题的一般情况（也就是限定的面积不一定是1），结论必然是要么f(x)是圆弧而且f(0)=f(1)=0,要么f(x)正好是半圆

shshsh_0510

不存在这样的连续函数F(x)。 最小弧长的下极限为2+π/4,  且不可达。且称mathe的提问为QA,  考虑问题QB:

定义在[0, 1]上的连续函数f(x)≥0, 且\int_0^1f(x)dx=1, 求\int_0^1sqrt{1+f'^2(x)}dx+f(0)+f(1)的最小值。 ...
hujunhua 发表于 2010-5-9 12:21

怎么叫不存在呢？

另外，如果f(0),f(1)不为0，且和x轴间面积为1，难道不是线段(0,1)到(1,1)么

hujunhua

回楼上。
QA中能取到最小值的F(x)是不存在的。理由已经有所阐述。
如果“f(0),f(1)不为0，且和x轴间面积为1，则f(x)=1(0≤x≤1)”，那么您昨天不敢收的那件生日礼物就不会那么圆润，而是应该有大量的平面和棱角，象一个多面体。

倪举鹏

一段优弧   不是劣弧或半圆啊

葡萄糖

某连续函数F(0)=F(1)=0，且它在(0,1)上和X轴围成的面积是1.求F(X)在该区间上弧长的最小值。
只是建立了个合适的坐标系！
实际上，题目就是：
过定线段两端点，曲线长为定长的曲线与线段围成的最大面积。