最节省长度的函数

mathe

转自: http://tieba.baidu.com/f?z=76523 ... d=%CA%FD%D1%A7&pn=0 某连续函数F(0)=F(1)=0，且它在(0,1)上和X轴围成的面积是1.求F(X)在该区间上弧长的最小值。

hujunhua

不存在这样的连续函数F(x)。 最小弧长的下极限为2+π/4, 且不可达。且称mathe的提问为QA, 考虑问题QB: 定义在[0, 1]上的连续函数f(x)≥0, 且$\int_0^1f(x)dx=1$, 求$\int_0^1sqrt{1+f'^2(x)}dx+f(0)+f(1)$的最小值。 QB的答案为2+π/4, f(x)是跨在[0, 1]上是一个半圆拱, 拱的两脚高度f(0)=f(1)=1-π/8. 显然，QB的答案是QA的答案的下限. 在(0, 1)上F(x)要无限趋近f(x), 但要保持F(x)连续和f(0)=f(1)=0, F(x)是永远不可能取到f(x)的。

wayne

我也算了，如果不考虑两端点的值的话，最优的曲线方程是 x^2+(y-a)^2=b^2 而这个，加入端点给的条件，无解

wayne

或者这样表达： 定义在[0, 1]上的连续函数f(x)≥0, 且$\int_0^1f(x)dx=1$, 求$\int_{0_-}^{1^+}sqrt{1+f'^2(x)}dx$的最小值

mathe

上面的讨论是从变分法角度来考虑的。而我希望能够用初等的方法来解决。 对于hujunhua 的QB问题，我们还可以扩展为一个QC问题: 求平面上一个简单区域，这个区域必须在x轴上方而且在直线x=0和x=1之间,而且x轴上线段$0<=x<=1$必须是区域的一部分边界，要求区域面积正好是1，请问在这个条件下，区域的周长最小是多少。 显然，所有QA和AB的情况变成QC中一个特殊情况，而区域的周长对应QA和QB中问题的长度再加1.

mathe

对于QC问题，首先我们可以容易得出这个简单区域必须是凸的才能够让边长取到最小值。由此可以马上得出QC问题的最小值会落在QB问题上，而且对应的函数f(x)必须是凹函数，也就是说对于任意00,那么这个还不是最优的。 方法同样很简单，我们做另外一个函数g(x)它同样是圆弧，0

shshsh_0510

不存在这样的连续函数F(x)。 最小弧长的下极限为2+π/4, 且不可达。且称mathe的提问为QA, 考虑问题QB: 定义在[0, 1]上的连续函数f(x)≥0, 且\int_0^1f(x)dx=1, 求\int_0^1sqrt{1+f'^2(x)}dx+f(0)+f(1)的最小值。 ... hujunhua 发表于 2010-5-9 12:21

怎么叫不存在呢？ 另外，如果f(0),f(1)不为0，且和x轴间面积为1，难道不是线段(0,1)到(1,1)么

hujunhua

回楼上。 QA中能取到最小值的F(x)是不存在的。理由已经有所阐述。 如果“f(0),f(1)不为0，且和x轴间面积为1，则f(x)=1(0≤x≤1)”，那么您昨天不敢收的那件生日礼物就不会那么圆润，而是应该有大量的平面和棱角，象一个多面体。

倪举鹏

一段优弧   不是劣弧或半圆啊

葡萄糖

某连续函数F(0)=F(1)=0，且它在(0,1)上和X轴围成的面积是1.求F(X)在该区间上弧长的最小值。
只是建立了个合适的坐标系！
实际上，题目就是：
过定线段两端点，曲线长为定长的曲线与线段围成的最大面积。