奇妙的113

liangbch

我们知道，祖冲之不但算出了圆周率的7位有效数字，还给出了圆周率的分数表示355/113. 这是个奇妙的数字，梁宗巨推算分母小于16604的分数没有一个比密率355/113更好。在欧洲，直到1573年才由德国数学家握脱求出了355/113这个数值。
  另外，我在统计质数分布的估计式 pi(x)= x /log(x) 与真实值之间的比时发现：
   质数113 和它的下一个质数（127） 的差达到一个相对最大值。 其后，直到比它大好多的质数523才破了这个记录，523和他的下一个质数（541）的差为18.

无心人

10^16内好几个相邻的素数差超过500
甚至超过1000

liangbch

113 的另一个特殊之处在于：若$pi(x)$表示x以内素数的个数，则 当x=113时，$ \frac{pi(x)}{x//log(x)}$ 取到最大值1.255。

liangbch

一个不等式，经验公式 $pi(x) < \frac{x}{log(x)} * \frac{10}{9} +32$。这个主要是估计x以内素数的个数用的，以便于分配内存空间。
当然类似的经验公式很多，在这里$k=10/9,c=32$ k和c有任意多组合。

gxqcn

现在一般的结论为：$pi(n)<{1.25506n}/lnn$，
而当x=113时，更精确的结果为：$\frac{pi(x)}{x//log(x)}~~1.2550587129324797969687074761812$，
看样子，数学家为其保留了一个极小的buffer.