e的近似表达：一个令人惊讶的数字游戏

gxqcn

$e~~(1+9^{-4^{7*6}})^{3^{2^85}}$

　　刚才看到这个很漂亮的无理数 e 的近似表达，它恰好用到了 1  到 9  这 9 个数字。
　　猜猜看它能精确到 e 的小数点后多少位？ 10 位？ 100 位？ 1000 位？ 10000 位？


　　远比想象中的牛 B —— 它能精确到小数点后 61,315,266,887,768,832,673,579,363 位（误差为：–2.01E–18457734525360901453873570）！

　　显然，这绝对不是一个巧合。它的秘密就在于，e 事实上等于 lim(n→∞) (1 + 1/n)^n ，而 9^(4^(7·6)) 恰好就等于 3^(2^85) 。这个指数相当大，Mathematica 直接就报 Overflow 了，难怪它能精确到 e 的小数点后那么多位。

　　据说，这个神一般的近似表达最早来源于这里。

转自：http://www.matrix67.com/blog/archives/3265/trackback

gxqcn

当然，下面的式子与之完全等价：

$e~~(1+3^{-2^85})^{9^{4^{6*7}}}$

northwolves

这个误差怎么计算的？

gxqcn

我估计是计算 $log(3^{2^85})=2^85*log3=18457734525360901453873569.828382$ 得到的。
注：上述结果是我按系统自带的计算器得到的，精度有限。

无心人

这个表达式用PARI/GP无法计算

我估计用老大的库和GMP也无法计算

很难验证

gxqcn

如果要精确存储 18,457,734,525,360,901,453,873,570 位十进制数，
它至少需要 $log_2^(10^18457734525360901453873570)=18457734525360901453873570*log_2^10=61315266887768832673579363$ bits，
这是多大的数字呢？ 61,315,266,887,768,832,673,579,363 ≈ 6.1 x10²⁵
若 1G=10^9，1T=10^12，1TT=10^24，
则这个数需要 8TTB（1B=8b） 的容量进行存储，估计当前地球上已生产的存储器总容量也远小于它。
所以这个近似误差主要是靠理论推导计算出的，无法准确核实。

无心人

wayne

x=3^(-2^85),则  logx=-2^85*log3=-18457734525360901453873569.8283816056613792345736

所以，x=10^-0.8283816057*10^-18457734525360901453873569
=0.1484630555*10^-18457734525360901453873569

ln(1+x)=x-1/2x^2+1/3x^3-1/4x^4....

所以，当x很小时，
(1+x)^(1/x) 约等于  e^(1-x/2+x^2/3-x^3/4+....)
即是
e-e*x/2+11ex^2/24-......  其中，x=3^(-2^85)

故误差<e*x/2=0.1484630555*2.71828182846/2*10^-18457734525360901453873569

=2.0178221298164922*10^-18457734525360901453873570

无心人

明白了，看上去很美而已

wayne

写了这么多，简单的说，设2^85*Log[10, 3] 的整数部分为I，小数部分为F，那么

其中，误差<e*F/2*10^(-I)