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[欣赏] Gōmbōc:神奇的自调整几何体

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发表于 2010-6-7 15:14:40 | 显示全部楼层 |阅读模式

  想像一个凸的几何体(比如一块鹅卵石)。把鹅卵石扔在平地上,石头可能会滚上个一两圈,但最终总会停下来。由于鹅卵石是凸的,任意时刻它与地面只有一点相接触。当它静止下来的时候,它与地面的触点可以使得整个几何体保持平衡,不妨把这样的点叫做平衡点。显然,一个几何体不可能永无止息地原地翻滚(它哪来那么多能量),最终总会在某个平衡点处停下。事实上,我们可以严格地证明,一个几何体至少有一个平衡点。问题是,有没有什么几何体就只有一个平衡点呢?你可能会说,不倒翁就只有一个平衡点啊。我们说,不倒翁这玩意儿是耍了赖的,把不倒翁劈开来,里面没粘着一个秤砣大的重物才怪。
  经过几年的努力,匈牙利科学家Gábor Domokos和他以前的学生Péter Várkonyi终于找到了这样一种凸几何体,它的密度是均匀的,并且它只有一个平衡点。随意地把它放在一个平面上,它总会自动地调整到那个唯一的平衡状态。轻轻碰一下它,它马上又会恢复原位。这样的凸几何体叫做Gōmbōc。匈牙利语Gōm是球体的意思,gōmbōc就表示像球一样的东西。Gōmbōc是第一个凸的、均匀的、只有一个平衡点的几何体(准确地说是两个平衡点,另一个是非稳定的平衡点,它在稳定平衡点的正对面)。这种几何体很可能被做成玩具或摆设,因为它们本身也非常美观,具有很多现代抽象艺术的特征,极具观赏价值。
  他们还猜想,存在这样一个凸多面体,只有一个面是“平衡面”。满足这种性质的凸多面体所需要的面数可能相当多。现在还没有找到这样的凸多面体。

消息来源:nytimes
查看更多:http://www.gomboc.eu/site.php

转自:http://www.matrix67.com/blog/archives/381/trackback

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毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2010-6-7 16:13:26 | 显示全部楼层
这是跟物体的重心有关系吧
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2010-6-7 16:49:19 | 显示全部楼层
密度均匀自调整几何体比较有意思,也比较难构造。
看它有不少曲面,如果全部由平面组成那就更有趣了,
正如文中介绍的那样,猜想存在,但尚未发现。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2010-6-8 23:29:10 | 显示全部楼层
那么是否存在只有一个稳定平衡点的平面卵形线呢?二维的情况应该比较容易构造或者否定吧
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2010-6-9 08:41:09 | 显示全部楼层
这个类似花苞形状的二维图应该就可以满足了
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2010-6-9 08:57:37 | 显示全部楼层
比较奇特。

表面任意一点都是平衡点的几何体,大家能构造吗

(我是说,非平凡的那种,即三维i的除了球体,二维的除了圆之外)
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2010-6-9 09:11:24 | 显示全部楼层
正方形四个角磨圆也也应该是,要求四个角上磨出的圆弧的圆心在正方形中心
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2010-6-9 09:16:57 | 显示全部楼层
重心线要垂直于过平衡点的切面,
边与圆弧的交接点应该不满足吧?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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发表于 2010-6-9 09:18:30 | 显示全部楼层
本帖最后由 wayne 于 2010-6-9 09:19 编辑

关于平衡,得说清楚几个概念:

处于平衡状态的物体,由于外界某种微小的作用而偏离了平衡状态时,因稳度的不同,物体的平衡状态可分为四种情形:稳定平衡;不稳定平衡;亚稳平衡;随遇平衡。这些平衡状态的区分,应视我们放置该物体的平衡位置而定。
  1.稳定平衡:凡能在被移动离开它的平衡位置后,仍试图回复其原来位置(此时其重心比较低)从而恢复到原来的平衡状态的物体,它原来的平衡状态叫“稳定平衡”。例如,圆球体在一个凹进的圆盘中时;一圆锥体以其底面竖立时,都属于稳定平衡状态。
  2.不稳定平衡:处于平衡状态的物体,由于受到某种外界微小的作用,如果物体稍有偏离就不能恢复到原来的平衡状态,这种情况叫“不稳定平衡”。例如,当一个圆球体放在一个凸起的圆盘上,或是一个圆锥体,以其尖端竖立在一个平面上,这些物体都处于不稳定平衡状态。翻倒后,一直要等到它们的重心相对地取得最低位置时,这些物体才会静止不动。即任何微小的运动都能使其重心降低的物体,一定处于不稳定平衡状态之下。
  3.亚稳平衡:如果物体在外力作用下,稍有偏离尚可恢复,而偏离稍大就失掉平衡的状态,称为“亚稳平衡”。
  4.随遇平衡:如果物体在外界作用下,它的平衡状态不随时间和坐标的变化而改变,这种状态叫“随遇平衡”。例如,当一个圆球体停在一个水平平面上的时候,或是一个圆锥体以其外壳的一条边线与平面相接触,即横向放在一个水平平面上时,都会出现随遇平衡状态。这些物体如被移置到一个新的位置时,虽然它们不能自动地恢复其原来的位置,但它们在新的位置上,却仍能停住不动,其重心之高度,亦保持不变。一般说来,任何微小之运动,既不能将其重心提高,亦不能使其重心降低之物体,一定处于随遇平衡状态之下。
  上述几种平衡状态,是处于重力场以及其他有势场的物体在场作用下的平衡情况。处于有势场的物体和场一起具有势能,而物体都有向势能较小位置运动的趋势。稳定平衡是指物体处于势能最小位置,当稍有微小扰动,令其离开平衡位置,外界必须对它作功,势能增加,在扰动后物体将自动回到原来势能最小的位置。所谓不稳定平衡是指物体处于势能最大时的平衡。任何微小的扰动即能引起重力对它作功,势能继续减小,不能再自动恢复原状。而随遇平衡的物体,受到扰动,势能将保持不变,在任意位置可继续保持平衡。在日常生活中对具体问题应具体分析,例如,放在桌上的鸡蛋,对旋转运动来说,是处于随遇平衡状态下;对倾倒运动而言,开始是不稳定平衡,接着则为稳定平衡。
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2010-6-9 09:20:48 | 显示全部楼层
也就是说,有哪些这样的几何体,其表面上的任意一点都是随遇平衡点
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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