Gōmbōc：神奇的自调整几何体

gxqcn

Gōmbōc

　　想像一个凸的几何体（比如一块鹅卵石）。把鹅卵石扔在平地上，石头可能会滚上个一两圈，但最终总会停下来。由于鹅卵石是凸的，任意时刻它与地面只有一点相接触。当它静止下来的时候，它与地面的触点可以使得整个几何体保持平衡，不妨把这样的点叫做平衡点。显然，一个几何体不可能永无止息地原地翻滚（它哪来那么多能量），最终总会在某个平衡点处停下。事实上，我们可以严格地证明，一个几何体至少有一个平衡点。问题是，有没有什么几何体就只有一个平衡点呢？你可能会说，不倒翁就只有一个平衡点啊。我们说，不倒翁这玩意儿是耍了赖的，把不倒翁劈开来，里面没粘着一个秤砣大的重物才怪。 　　经过几年的努力，匈牙利科学家Gábor Domokos和他以前的学生Péter Várkonyi终于找到了这样一种凸几何体，它的密度是均匀的，并且它只有一个平衡点。随意地把它放在一个平面上，它总会自动地调整到那个唯一的平衡状态。轻轻碰一下它，它马上又会恢复原位。这样的凸几何体叫做Gōmbōc。匈牙利语Gōm是球体的意思，gōmbōc就表示像球一样的东西。Gōmbōc是第一个凸的、均匀的、只有一个平衡点的几何体（准确地说是两个平衡点，另一个是非稳定的平衡点，它在稳定平衡点的正对面）。这种几何体很可能被做成玩具或摆设，因为它们本身也非常美观，具有很多现代抽象艺术的特征，极具观赏价值。 　　他们还猜想，存在这样一个凸多面体，只有一个面是“平衡面”。满足这种性质的凸多面体所需要的面数可能相当多。现在还没有找到这样的凸多面体。 消息来源：nytimes 查看更多：http://www.gomboc.eu/site.php 转自：http://www.matrix67.com/blog/archives/381/trackback

qianyb

这是跟物体的重心有关系吧

gxqcn

密度均匀自调整几何体比较有意思，也比较难构造。 看它有不少曲面，如果全部由平面组成那就更有趣了， 正如文中介绍的那样，猜想存在，但尚未发现。

hujunhua

那么是否存在只有一个稳定平衡点的平面卵形线呢？二维的情况应该比较容易构造或者否定吧

mathe

这个类似花苞形状的二维图应该就可以满足了

wayne

比较奇特。 表面任意一点都是平衡点的几何体，大家能构造吗 (我是说，非平凡的那种，即三维i的除了球体，二维的除了圆之外)

mathe

正方形四个角磨圆也也应该是，要求四个角上磨出的圆弧的圆心在正方形中心

gxqcn

重心线要垂直于过平衡点的切面， 边与圆弧的交接点应该不满足吧？

wayne

关于平衡，得说清楚几个概念：

处于平衡状态的物体，由于外界某种微小的作用而偏离了平衡状态时，因稳度的不同，物体的平衡状态可分为四种情形：稳定平衡；不稳定平衡；亚稳平衡；随遇平衡。这些平衡状态的区分，应视我们放置该物体的平衡位置而定。 　　1.稳定平衡：凡能在被移动离开它的平衡位置后，仍试图回复其原来位置（此时其重心比较低）从而恢复到原来的平衡状态的物体，它原来的平衡状态叫“稳定平衡”。例如，圆球体在一个凹进的圆盘中时；一圆锥体以其底面竖立时，都属于稳定平衡状态。 　　2.不稳定平衡：处于平衡状态的物体，由于受到某种外界微小的作用，如果物体稍有偏离就不能恢复到原来的平衡状态，这种情况叫“不稳定平衡”。例如，当一个圆球体放在一个凸起的圆盘上，或是一个圆锥体，以其尖端竖立在一个平面上，这些物体都处于不稳定平衡状态。翻倒后，一直要等到它们的重心相对地取得最低位置时，这些物体才会静止不动。即任何微小的运动都能使其重心降低的物体，一定处于不稳定平衡状态之下。 　　3.亚稳平衡：如果物体在外力作用下，稍有偏离尚可恢复，而偏离稍大就失掉平衡的状态，称为“亚稳平衡”。 　　4.随遇平衡：如果物体在外界作用下，它的平衡状态不随时间和坐标的变化而改变，这种状态叫“随遇平衡”。例如，当一个圆球体停在一个水平平面上的时候，或是一个圆锥体以其外壳的一条边线与平面相接触，即横向放在一个水平平面上时，都会出现随遇平衡状态。这些物体如被移置到一个新的位置时，虽然它们不能自动地恢复其原来的位置，但它们在新的位置上，却仍能停住不动，其重心之高度，亦保持不变。一般说来，任何微小之运动，既不能将其重心提高，亦不能使其重心降低之物体，一定处于随遇平衡状态之下。 　　上述几种平衡状态，是处于重力场以及其他有势场的物体在场作用下的平衡情况。处于有势场的物体和场一起具有势能，而物体都有向势能较小位置运动的趋势。稳定平衡是指物体处于势能最小位置，当稍有微小扰动，令其离开平衡位置，外界必须对它作功，势能增加，在扰动后物体将自动回到原来势能最小的位置。所谓不稳定平衡是指物体处于势能最大时的平衡。任何微小的扰动即能引起重力对它作功，势能继续减小，不能再自动恢复原状。而随遇平衡的物体，受到扰动，势能将保持不变，在任意位置可继续保持平衡。在日常生活中对具体问题应具体分析，例如，放在桌上的鸡蛋，对旋转运动来说，是处于随遇平衡状态下；对倾倒运动而言，开始是不稳定平衡，接着则为稳定平衡。

wayne

也就是说，有哪些这样的几何体，其表面上的任意一点都是随遇平衡点