面积为π的球面三角形的中心三角形都是等边直角三角形

hujunhua

这是从“用尽量初等的办法求一个条件最值”的球面几何解答中引申出来的问题。我把图链接过来：



图中x, y, z可以取△XYZ内的任意点，因此△ABC 的形状是连续变化的，但始终保持面积为π，并且保持中心三角形* 为等边直角三角形。
我们不禁要问： 随着(x, y, z)的变化，△ABC 穷尽了面积为π的各种形状的三角形吗？也就是，下面的逆命题是否成立：

面积为π的球面三角形的中心三角形*是等边直角三角形。

（*：中心三角形——以三角形的三边中点为顶点的三角形。）

hujunhua

逆命题成立。有一个直观的几何证明，与等面四面体有关。
单位球面上面积为`\pi`的球面三角形与内接于单位球面的等面四面体存在一一对应关系。
一方面，等面四面体在其外接单位球面上的投影（投射中心在球心）是四个全等的球面三角形，面积都等于`\pi`。
另一方面，易证一个面积等于`\pi`的球面三角形必可4个铺满球面，构成一个上述等面四面体的投影。
拼铺时带上它们的中心三角形，则中心三角形的每条边被重复4次，恰好各缀成一个大圆，于是每条边长都是`\pi/2`。

hujunhua

直接在球面上画不太方便，咱就以等面四面体来示意解说。

浅灰色图线为等面四体的长方体外框。
等面四面体的对棱等长，三组对棱长度标为a,b,c, 所以它的四个三角面是全等的，边长都是{a,b,c}.
长度为c/2的四条中位线（绿色线段）围成了一个菱形。投射到球面上是一个大圆，菱形四边各投射成1/4圆弧。