连分数趣题一则

wayne · 发表于 2010-8-12 09:24:25

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$1/{1+1/{2+1/{3+1/{4+1/{...}}}}}$ 的准确值是多少？

wayne · 发表于 2010-8-12 09:26:17

还有， $1/{1+1/{3+1/{5+1/{7+1/{...}}}}}$

hujunhua · 发表于 2010-8-12 09:59:11

In[1]:= N[FromContinuedFraction[Range[100]], 50] Out[1]= 1.4331274267223117583171834557759918204315127679060 搜1.4331274267223117捕空，搜1.43312742有一页，是台湾的国立电离层研究所的网页，不知道它是什么数据。 http://www.google.com.hk/search? ... TF-8&q=1%2E43312742

wayne · 发表于 2010-8-12 10:00:42

3# hujunhua

N[FromContinuedFraction[Range[0,100]], 50]

复制代码

我可以瞬间给出前一百万位，这是前一千位 0.6977746579640079820067905925517525994866582629980212323686300828165308527646411129969656541826765687239828218773964133931131922961195325839482671540233685720770846879316532596768026096993447735279134807392866925472877889269341631325163541360922351694910777667127019798991789043551299822748847417815118582827474312800016883973575031589630558148456722812773785313893537964574949111443995739496545408641490244407439658462383405191698214657075454152356161978927702157019980844153256948432472055320438254601089536953956756141086175951613153820732931364439051157889913997941184531707255433214244317404753282387468232949778600917592531885601921774744917302475827510588530039799891961428677298872920269118479725541584489103832653246261506026959580395171325335518290539864261160122414588261244351825022559389263137501312747096674905266754096536040252450838548835894016411556364834073454971407636882729626651342464624332583445931037716279976454941621295291266608179784300381978775455761063199246771331988090510

hujunhua · 发表于 2010-8-12 10:07:32

In[2]:= N[1/FromContinuedFraction[Range[100]], 50] Out[2]= 0.69777465796400798200679059255175259948665826299802 搜到1页 http://www2b.abc.net.au/science/ ... 4/topic4542551.shtm

wayne · 发表于 2010-8-12 10:12:08

5# hujunhua 该链接的源头是： http://www.research.att.com/~njas/sequences/A052119

wayne · 发表于 2010-8-12 10:15:23

貌似这个差分方程不好解 $a_{n+1}=n*a_n+a_{n-1}$

wayne · 发表于 2010-8-12 10:35:29

设a(0)=a,a(1)=b,将上述方程进行Z变换，得到微分方程： $x^2*y'(x)=(1-x^2)y(x)+x(a+b*x)$

wayne · 发表于 2010-8-12 11:04:08

BesselI[1, 2]=$\sum _{n=0}^{\infty } {n}/{(n!)^2}$ BesselI[0, 2]=$\sum _{n=0}^{\infty } 1/{(n!)^2}$ 那个无穷连分数的值为： BesselI[1, 2]/BesselI[0, 2] =0.69777465796400798200679059255 第二个无穷连分数的值为 tanh(1) =0.76159415595576488811945828260479359

wayne · 发表于 2010-8-12 11:10:08

BesselI[n, z] 函数叫Modified Bessel Function of the First Kind， http://mathworld.wolfram.com/Mod ... oftheFirstKind.html 是下面方程的解： $z^2y''(z)+zy'(z)-(z^2+n^2)y(z)=0$

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