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[原创] 连分数趣题一则

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发表于 2010-8-12 09:24:25 | 显示全部楼层 |阅读模式

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$1/{1+1/{2+1/{3+1/{4+1/{...}}}}}$
的准确值是多少?
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2010-8-12 09:26:17 | 显示全部楼层
还有,
$1/{1+1/{3+1/{5+1/{7+1/{...}}}}}$
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
发表于 2010-8-12 09:59:11 | 显示全部楼层
In[1]:= N[FromContinuedFraction[Range[100]], 50]
Out[1]= 1.4331274267223117583171834557759918204315127679060

搜1.4331274267223117捕空,搜1.43312742有一页,是台湾的国立电离层研究所的网页,不知道它是什么数据。
http://www.google.com.hk/search? ... &q=1%2E43312742
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
毋私小惠而伤大体  毋借公论以快私情
 楼主| 发表于 2010-8-12 10:00:42 | 显示全部楼层
3# hujunhua

  1. N[FromContinuedFraction[Range[0,100]], 50]
复制代码
我可以瞬间给出前一百万位,这是前一千位
0.6977746579640079820067905925517525994866582629980212323686300828165308527646411129969656541826765687239828218773964133931131922961195325839482671540233685720770846879316532596768026096993447735279134807392866925472877889269341631325163541360922351694910777667127019798991789043551299822748847417815118582827474312800016883973575031589630558148456722812773785313893537964574949111443995739496545408641490244407439658462383405191698214657075454152356161978927702157019980844153256948432472055320438254601089536953956756141086175951613153820732931364439051157889913997941184531707255433214244317404753282387468232949778600917592531885601921774744917302475827510588530039799891961428677298872920269118479725541584489103832653246261506026959580395171325335518290539864261160122414588261244351825022559389263137501312747096674905266754096536040252450838548835894016411556364834073454971407636882729626651342464624332583445931037716279976454941621295291266608179784300381978775455761063199246771331988090510

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参与人数 1经验 +4 收起 理由
hujunhua + 4 YY. 搞数据,偶班门弄了哈斧

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发表于 2010-8-12 10:07:32 | 显示全部楼层
In[2]:= N[1/FromContinuedFraction[Range[100]], 50]
Out[2]= 0.69777465796400798200679059255175259948665826299802

搜到1页
http://www2b.abc.net.au/science/ ... 4/topic4542551.shtm

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参与人数 1鲜花 +4 收起 理由
wayne + 4 呵呵,good,那个连接已经给出精确值了

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 楼主| 发表于 2010-8-12 10:12:08 | 显示全部楼层
5# hujunhua

该链接的源头是:
http://www.research.att.com/~njas/sequences/A052119
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 楼主| 发表于 2010-8-12 10:15:23 | 显示全部楼层
貌似 这个 差分方程不好解

$a_{n+1}=n*a_n+a_{n-1}$
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2010-8-12 10:35:29 | 显示全部楼层
设a(0)=a,a(1)=b,将上述方程进行Z变换,得到微分方程:

$x^2*y'(x)=(1-x^2)y(x)+x(a+b*x)$
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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 楼主| 发表于 2010-8-12 11:04:08 | 显示全部楼层
BesselI[1, 2]=$\sum _{n=0}^{\infty } {n}/{(n!)^2}$
BesselI[0, 2]=$\sum _{n=0}^{\infty } 1/{(n!)^2}$
那个无穷连分数的值为: BesselI[1, 2]/BesselI[0, 2] =0.69777465796400798200679059255

第二个无穷连分数的值为 tanh(1)  =0.76159415595576488811945828260479359
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 楼主| 发表于 2010-8-12 11:10:08 | 显示全部楼层
BesselI[n, z] 函数叫Modified Bessel Function of the First Kind,
http://mathworld.wolfram.com/Mod ... oftheFirstKind.html
是下面方程的解:
$z^2y''(z)+zy'(z)-(z^2+n^2)y(z)=0$
毋因群疑而阻独见  毋任己意而废人言
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