让我们研究一下灌水问题吧

zgg___ · 发表于 2010-8-13 10:20:21

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问题1：有一个袋子，是由两个边长为1的正方形的理想材料[注1]，通过将其对应边粘在一起来构成的（就是最普通的那种塑料袋了），现在往里面灌水（不要问从哪里灌，呵呵），问最多可以装多少体积的水？ [注1]：所谓的理想材料，它的厚度为0，而且就像张三丰的拳法，其软如绵，其坚似铁。它没有丝毫的延展性，不可以拉伸，也不能被撕开；同时它可以被任意的弯曲和折叠，可以打死折，可以折叠多次厚度还是0，折痕之间的距离可以任意小，反正是可以任意的摆弄。我不知道这个条件是否能推导出它可以“收缩”，感觉上是可以的。问题2：将问题1中的“边长为1的正方形”，换成“直径为1的圆形”，问最多可以灌多少水？（由于对称性，问题2或许可以做为问题1的热身。）问题3：有一个边长为1的立方体纸盒（理想材料的呦），它可以灌进超过1的体积的水么？（这个问题是最近在美国数学月刊上看到的，是它使我写了这个帖子。）问题4：一个直径为1的圆，通过折叠，将它的周长缩小为一个点（就是包包子啦），它可以装多少水（馅）？问题5：仿照上面的思路，我们可以编出许多问题来，最终都是问能灌多少水，故管这类问题叫做灌水问题。那么问：灌水问题是属于数学的哪一部分呢？

gxqcn · 发表于 2010-8-13 10:55:23

这个问题有点意思。

wayne · 发表于 2010-8-13 10:58:03

我先灌一下水。感觉还是属于组合几何学范畴的， http://en.wikipedia.org/wiki/Discrete_geometry 俺有一思路，先设法把一张正方形的纸折叠成一个有一面开着口的几何体，这个几何体越凸越好。

风云剑 · 发表于 2010-8-13 12:24:59

很有意思的问题啊。第一题是1/8？

风云剑 · 发表于 2010-8-13 12:28:39

第二题PI/32？以上纯属瞎猜

wayne · 发表于 2010-8-13 13:01:17

把一张正方形的纸对折，把两对小半边黏结起来。然后把两头鼓起来，成圆锥状。对另一张纸做同样的操作，然后把两张纸的开口粘合起来。不知这种形状如何？体积应该不难算

mjs1wh · 发表于 2010-8-13 23:04:26

灌水后应该都是一些长角的球体吧，用曲面积分可以计算。

没——问题 · 发表于 2010-8-14 12:38:43

第四个应该就是赤道长为1的球吧

没——问题 · 发表于 2010-8-14 12:39:45

第三题只问能或不能还是容易的吧

wayne · 发表于 2010-8-16 12:03:56

刚才一顿海搜。收获大致如下： 1、折纸(Origami)中有好多有趣的数学问题值得研究，国外有好多人跟zgg_一样对折纸中的数学很感兴趣： http://erikdemaine.org/folding/ 2、折纸能形成的曲面叫可展曲面，高斯曲率恒为零的： Developable surface 3、第三届国际会议，关于折纸中的数学，数学，教育，在2001年举行，但好像之后就没后文了： http://kahuna.merrimack.edu/~thull/osm/osm.html

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