关于自然常数e 的一个不等式

wayne

有一个不等式：
$(1+1/{n})^n<e<(1+1/{n})^(n+0.5)$
前面是好证明的，关键是后面，看看大家有没有好法子

mathe

应该是
$(1+1/n)^n<e<(1+1/n)^{n+1/2}$吧
两者极限显然都是e,所以只要证明分别关于n单调增和单调减就可以。可以试着将相邻两项相比

wayne

2# mathe
改过来了。
此题可以发散一下，这个0.5是不是可以再小点，比如0.45 ，。。。

风云剑

就想到你会这样发散，干脆发散到1/n最好。

wayne

我计算了一下，这个值其实就是  1/ln2 -1 =0.442695

证明$1/\log(1+x)-1/x$的单调性就可以了

wayne

4# 风云剑

wayne

这个题其实就是美国数学月刊2010年三月份的一道题
http://www.maa.org/pubs/monthly_mar10_toc.html

mathe

我计算了一下，这个值其实就是  1/ln2 -1 =0.442695

证明1/\log(1+x)-1/x的单调性就可以了
wayne 发表于 2010-8-18 16:16

右边0.5已经最小了，是左边可以加强到1/ln2-1=0.442695

wayne

8# mathe
嗯，我算错了。
设 $e = (1+1/n)^(n+a)$,那么，
问题其实就是求 函数$a=1/\log(1+x)-1/x$ 在0<x<=1 的值域 。

这个值域就是 [1/ln2-1,1/2)