求证明2^(k*(k+1)/2) 模k的结果等于2^((k+1)/2)

qianyb · 发表于 2010-8-31 08:06:40

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求证明$2^((k*(k+1))/2) -=2^((k+1)//2) mod k$(k>2的奇数)
另外能否推广 $a^((k*(k+1))/2) -=a^((k+1)//2) mod k$(k>a 的奇数)

mathe · 发表于 2010-8-31 08:22:55

两个结论均错误

gxqcn · 发表于 2010-8-31 08:23:04

结论不成立！

如令 k=9，则
$2^((k+1)/2) = 2^5 -= 5 \quad (mod \quad 9)$
$2^((k*(k+1))/2) = 2^(6*7+3) -= 2^3 = 8 \quad (mod \quad 9)$

qianyb · 发表于 2010-8-31 09:54:51

确实是错,我试的都是素数的k

gxqcn · 发表于 2010-8-31 10:26:26

当 k 为素数时，$phi(k)=k-1$，Gcd(a, k)=1，
故有：$a^((k-1)(k+1)//2) = (a^(k-1))^((k+1)//2) -= 1^((k+1)//2) = 1\quad(mod k)$
$\therefore a^((k*(k+1))/2) -a^((k+1)//2) = a^((k+1)//2) *(a^((k-1)(k+1)//2) - 1) -= 0 \quad(mod k)$

qianyb · 发表于 2010-8-31 11:54:01

多谢老大指点

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