素因子

mathe

请问$1+2^{2t+1}$的素因子是否都是模4为3？ 如果是请证明，如果不是请给出一个批量构造方法

wayne

这题很刁，素的真因子肯定不是2^k+1型的，所以批量构造反例有点难

qianyb

我来乱证 当t=1时，$1+2^{2t+1}$ ＝3*3 当t=2时，$1+2^{2t+1}$ ＝3*11 当t=3时，$1+2^{2t+1}$ ＝3*43 ... 由归纳法可知，每$1+2^{2t+1}$ 都是由3和u组成（u1=3,$u_(t+1)=u_t*4-1$) 所以结果就每个素因子模4为3 可以推出一个素数公式$(1+2^{2t+1})/3$ 都是素数

wayne

3# qianyb 数学归纳法不是这样用的，呵呵。

wayne

$2^29+1= 3*59*3033169$ $2^33+1=3^2*67*683*20857$ $2^35+1=3*11*43*281*86171$ t可以是： {14, 16, 17, 18, 20, 22, 23, 24, 25, 26, 28, 29, 31, 33, 34, 35, 36, 37, 38, 40, 41, 43, 44, 46, 47, 48, 49, 51, 52, 53, 54, 55, 56, 58, 59, 61, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 72, 73, 74, 75, 76, 77, 78, 79, 81, 82, 85, 86, 87, 88, 89, 92, 94, 96, 97, 98, 100}

wayne

1# mathe 只要2t+1 是 29, 33, 35, 37, 41, 45, 47, 49, 51, 53, 57, 59, 63, 67, 69, 71, 73, 75, 77, 81, 83, 89, 93, 95, 97, 103, 107, 109, 113, 117, 119, 129, 131, 133, 137, 139, 143, 149, 151, 155, 157, 163, 173, 179, 193, 195,197 的奇数倍，那么，就2^(2t+1)+1就存在4m+1 的素因子。 比如： 2t+1 = 29*(2m+1) ，那么，2^(2t+1)+1就有素因子3033169 2t+1 = 33*(2m+1) ，那么，2^(2t+1)+1就有素因子20857 2t+1 = 35*(2m+1) ，那么，2^(2t+1)+1就有素因子281 2t+1 = 37*(2m+1) ，那么，2^(2t+1)+1就有素因子1777 。。。。

素因子 29 3033169 33 20857 35 281 37 1777 41 8831418697 45 18837001 47 165768537521 49 4363953127297 51 2857 6529 53 28059810762433 57 160465489 59 2833 1824726041 63 77158673929 67 7327657 69 168749965921 71 13952598148481 73 1753 75 1133836730401 77 617 78233 81 135433 272010961 83 2657 155377 89 62020897 18584774046020617 93 2903110321 95 2281 97 1553 31817 1100876018364883721 103 415141630193 107 84115747449047881488635567801 109 104124649 113 48817 636190001 491003369344660409 117 5302306226370307681801 119 143162553165560959297 129 1033 1591582393 131 1049 4744297 133 106788290443848295284382097033 137 1097 32127963626435681 105498212027592977 139 4506937 143 6156182033 149 1193 650833 7984559573504259856359124657 151 18717738334417 155 11161 29126056043168521 157 15073 17751783757817897 96833299198971305921 163 11281292593 337570547050390415041769 173 4153 1643464247728189221623609 179 58745093521 193 1871670769 7455099975844049 195 571403921126076957182161 197 197002597249 1348959352853811313

wayne

突然想到att上面应该有，一查果然： http://www.research.att.com/~njas/sequences/A163184 只是感觉数据太少了，不知道有没有谁能多添点数据进去

gxqcn

5# wayne 我现在才注意到，原来该帖是在提供反例：如“281”（因为它模4为1）。

wayne

8# gxqcn 发现这题放在编程擂台里比较合适， 我搞出了好多特大号的反例，前11个是一致的，后面就缺项了